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Galileo Galilei
Intorno alle cose che stanno in su l'acqua...
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Discorso intorno alle cose che stanno in su l'acqua o che in quella si muovono

Perch'io so, Principe Serenissimo, che il lasciar vedere in pubblico il presente trattato, d'argomento tanto diverso da quello che molti aspettano e che, secondo l'intenzione che ne diedi nel mio Avviso Astronomico, già dovrei aver mandato fuori, potrebbe per avventura destar concetto, o che io avessi del tutto messo da banda l'occuparmi intorno alle nuove osservazioni celesti, o che almeno con troppo lento studio le trattassi; ho giudicato esser bene render ragione sì del differir quello, come dello scrivere e del pubblicare questo trattato.
Quanto al primo, non tanto gli ultimi scoprimenti di Saturno tricorporeo e delle mutazioni di figure in Venere, simili a quelle che si veggono nella Luna, insieme con le conseguenze che da quelle dependono, hanno cagionato tal dilazione, quanto l'investigazion de' tempi delle conversioni di ciaschedun de' quattro Pianeti Medicei intorno a Giove, la quale mi succedette l'aprile dell'anno passato 1611, mentre era in Roma; dove finalmente m'accertai, che 'l primo, e più vicino a Giove, passa del suo cerchio gradi 8 e m. 29 in circa per ora, faccendo la 'ntera conversione in giorni naturali 1 e ore 18 e quasi meza. Il secondo fa nell'orbe suo g. 4, m. 13 prossimamente per ora, e l'intera revoluzione in giorni 3, or. 13 e un terzo incirca. Il terzo passa in un'ora gr. 2, m. 6 in circa del suo cerchio, e lo misura tutto in giorni 7, ore 4 prossimamente. Il quarto, e più lontano degli altri, passa in ciaschedun'ora gr. 0, m. 54 e quasi mezo, del suo cerchio, e lo finisce tutto in giorni 16, or. 18 prossimamente. Ma perché la somma velocità delle loro restituzioni richiede una precisione scrupolosissima per li calcoli de' luoghi loro ne' tempi passati e futuri, e massimamente se i tempi saranno di molti mesi o anni, però mi è forza con altre osservazioni, e più esatte delle passate, e tra di loro più distanti di tempo, corregger le tavole di tali movimenti, e limitargli sino a brevissimi stanti. Per simili precisioni non mi bastano le prime osservazioni, non solo per li brevi intervalli di tempi, ma perché, non avendo io allora ritrovato modo di misurar con istrumento alcuno le distanze di luogo tra essi pianeti, notai tali interstizi con le semplici relazioni al diametro del corpo di Giove, prese, come diciamo, a occhio, le quali, benché non ammettano errore d'un minuto primo, non bastano però per la determinazione dell'esquisite grandezze delle sfere di esse stelle. Ma ora che ho trovato modo di prender tali misure senza errore anche di pochissimi secondi, continuerò l'osservazioni sino all'occultazion di Giove; le quali dovranno essere a bastanza per l'intera cognizione de' movimenti e delle grandezze de gli orbi di essi Pianeti, e di alcune altre conseguenze. Aggiungo a queste cose l'osservazione d'alcune macchiette oscure, che si scorgono nel corpo solare: le quali, mutando positura in quello, porgono grand'argomento, o che 'l Sole si rivolga in sé stesso, o che forse altre stelle, nella guisa di Venere e di Mercurio, se gli volgano intorno, invisibili in altri tempi per le piccole digressioni e minori di quella di Mercurio, e solo visibili quando s'interpongono tra 'l Sole e l'occhio nostro, o pur danno segno che sia vero e questo e quello; la certezza delle quali cose non debbe disprezzarsi o trascurarsi.
Ânnomi finalmente le continuate osservazioni accertato, tali macchie esser materie contigue alla superficie del corpo solare, e quivi continuamente prodursene molte, e poi dissolversi, altre in più brevi ed altre in più lunghi tempi, ed esser dalla conversione del Sole in sé stesso, che in un mese lunare in circa finisce il suo periodo, portate in giro; accidente per sé grandissimo, e maggiore per le sue conseguenze.
Quanto poi all'altro particulare, molte cagioni m'hanno mosso a scrivere il presente trattato, soggetto del quale è la disputa che a' giorni addietro io ebbi con alcuni letterati della città, intorno alla quale, come sa V. A., son seguiti molti ragionamenti. La principale è stato il cenno dell'A. V., avendomi lodato lo scrivere come singolar mezzo per far conoscere il vero dal falso, le reali dall'apparenti ragioni, assai migliore che 'l disputare in voce, dove o l'uno o l'altro, e bene spesso amendue che disputano, riscaldandosi di soverchio o di soverchio alzando la voce, o non si lasciano intendere, o traportati dall'ostinazione di non si ceder l'un l'altro lontani dal primo proponimento, con la novità delle varie proposte confondono lor medesimi e gli uditori insieme. Mi è paruto, oltre a ciò, convenevole, che l'A. V. resti informata da me ancora di tutto 'l seguito circa la contesa di cui ragiono, sì come n'è stata ragguagliata molto prima da altri. E perché la dottrina che io séguito nel proposito di che si tratta è diversa da quella d'Aristotile e da' suoi principii, ho considerato che contro l'autorità di quell'uomo grandissimo, la quale appresso di molti mette in sospetto di falso ciò che non esce dalle scuole peripatetiche, si possa molto meglio dir sua ragione con la penna che con la lingua, e per ciò mi son risoluto scriverne il presente Discorso: nel quale spero ancor di mostrare che, non per capriccio, o per non aver letto o inteso Aristotile, alcuna volta mi parto dall'opinion sua, ma perché le ragioni me lo persuadono, e lo stesso Aristotile mi ha insegnato quietar l'intelletto a quello che m'è persuaso dalla ragione, e non dalla sola autorità del maestro; ed è verissima la sentenza d'Alcinoo, che 'l filosofare vuol esser libero. Né fia, per mio credere, senza qualch'utile dell'universale la resoluzione della quistion nostra; perciò che trattandosi, se la figura de' solidi operi o no nell'andare essi, o non andare, a fondo nell'acqua, in occorrenze di fabbricar ponti o altre macchine sopra l'acqua, che avvengono per lo più in affari di molto rilievo, può esser di giovamento saperne la verità.
Dico dunque che, trovandomi la state passata in conversazione di letterati, fu detto nel ragionamento, il condensare esser proprietà del freddo, e fu addotto l'esemplo del ghiaccio. Allora io dissi che avrei creduto più tosto il ghiaccio esser acqua rarefatta, che condensata; poi che la condensazione partorisce diminuzion di mole e augumento di gravità, e la rarefazione maggior leggerezza e augumento di mole, e l'acqua nel ghiacciarsi cresce di mole, e 'l ghiaccio già fatto è più leggier dell'acqua, standovi a galla.
È manifesto quant'io dico: perché, detraendo il mezo dalla total gravità de i solidi tanto, quanto è il peso d'altrettanta mole del medesimo mezo, come Archimede dimostra nel primo libro Delle cose che stanno su l'acqua, qualunque volta si accrescerà per distrazion la mole del medesimo solido, più verrà dal mezo detratto della intera sua gravità, e meno quando per compressione verrà condensato e ridotto sotto minor mole.
Mi fu replicato, ciò nascere non dalla maggior leggerezza, ma dalla figura larga e piana, che, non potendo fender la resistenza dell'acqua, cagiona che egli non si sommerga. Risposi, qualunque pezzo di ghiaccio, e di qualunque figura, star sopra l'acqua; segno espresso, che l'essere piano e largo quanto si voglia, non ha parte alcuna nel suo galleggiare: e soggiunsi che argomento manifestissimo n'era il vedersi un pezzo di ghiaccio di figura larghissima, posto in fondo dell'acqua, subito ritornarsene a galla; ché, s'e' fosse veramente più grave, e 'l suo galleggiare nascesse dalla figura impotente a fender la resistenza del mezo, ciò del tutto sarebbe impossibile. Conchiusi per tanto, la figura non esser cagione per modo alcuno di stare a galla o in fondo, ma la maggiore o minor gravità in rispetto dell'acqua; e per ciò tutti i corpi più gravi di essa, di qualunque figura si fussero, indifferentemente andavano a fondo, e i più leggieri, pur di qualunque figura, stavano indifferentemente a galla: e dubitai che quelli che sentivano in contrario si fossero indotti a credere in quella guisa dal vedere come la diversità della figura altera grandemente la velocità e tardità del moto, sì che i corpi di figura larga e sottile discendono assai più lentamente nell'acqua che quelli di figura più raccolta, faccendosi questi e quelli della medesima materia; dal che alcuno potrebbe lasciarsi indurre a credere, che la dilatazione della figura potesse ridursi a tale ampiezza, che non solo ritardasse, ma del tutto impedisse e togliesse, il più muoversi; il che io stimo esser falso. Sopra questa conclusione nel corso di molti giorni furon dette molte e molte cose, e diverse esperienze prodotte, delle quali l'A. V. alcune intese e vide; e in questo Discorso avrà tutto quello che è stato prodotto contro alla mia asserzione, e ciò che mi è venuto in mente per questo proposito e per confermazione della mia conclusione. Il che se sarà bastante per rimuover quella che io stimo sin ora falsa opinione, mi parrà d'avere non inutilmente impiegata la fatica e 'l tempo: e quando ciò non avvenga, pur debbo sperarne un altro mio utile proprio, cioè di venire in cognizion della verità, nel sentir riprovare le mie fallacie e introdurre le vere dimostrazioni da quelli che sentono in contrario.
E per procedere con la maggiore agevolezza e chiarezza che io sappia, parmi esser necessario, avanti ad ogni altra cosa, dichiarare qual sia la vera, intrinseca e total cagione dell'ascendere alcuni corpi solidi nell'acqua e in quella galleggiare, o del discendere al fondo; e tanto più, quanto io non posso interamente quietarmi in quello che da Aristotile viene in questo proposito scritto.
Dico, dunque, la cagione per la quale alcuni corpi solidi discendono al fondo nell'acqua, esser l'eccesso della gravità loro sopra la gravità dell'acqua, e, all'incontro, l'eccesso della gravità dell'acqua sopra la gravità di quelli esser cagione che altri non discendano, anzi che dal fondo si elevino e sormontino alla superficie. Ciò fu sottilmente dimostrato da Archimede, ne' libri Delle cose che stanno sopra l'acqua; ripreso poi da gravissimo Autore, ma, s'io non erro, a torto, sì come di sotto, per difesa di quello, cercherò di dimostrare.
Io con metodo differente e con altri mezzi procurerò di concludere lo stesso, riducendo le cagioni di tali effetti a' principii più intrinsechi e immediati, ne' quali anco si scorgano le cause di qualche accidente ammirando e quasi incredibile, qual sarebbe che una picciolissima quantità d'acqua potesse col suo lieve peso sollevare e sostenere un corpo solido, cento e mille volte più grave di lei. E perché così richiede la progressione dimostrativa, io definirò alcuni termini, e poi esplicherò alcune proposizioni, delle quali, come di cose vere e note, io possa servirmi a' miei propositi.
Io, dunque, chiamo egualmente gravi in ispecie quelle materie, delle quali eguali moli pesano egualmente: come se, per esemplo, due palle, una di cera e l'altra d'alcun legno, eguali di mole, fussero ancora eguali in peso, diremmo quel tal legno e la cera essere in ispecie egualmente gravi.
Ma egualmente gravi di gravità assoluta chiamerò io due solidi li quali pesino egualmente, benché di mole fussero diseguali: come, per esemplo, una mole di piombo e una di legno, che pesino ciascheduna dieci libre, dirò essere in gravità assoluta eguali, ancorché la mole del legno sia molto maggior di quella del piombo, ed, in conseguenza, men grave in specie.
Più grave in specie chiamerò una materia che un'altra, della quale una mole eguale a una mole dell'altra peserà più: e così dirò, il piombo esser più grave in ispecie dello stagno, perché, prese di loro due moli eguali, quella di piombo pesa più. Ma più grave assolutamente chiamerò io quel corpo di questo, se quello peserà più di questo, senza aver rispetto alcuno di mole: e così un gran legno si dirà pesare assolutamente più d'una piccola mole di piombo, benché il piombo in ispecie sia più grave del legno. E lo stesso intendasi del men grave in ispecie e men grave assolutamente.
Definiti questi termini, io piglio dalla scienza meccanica due principii. Il primo è, che pesi assolutamente eguali, mossi con eguali velocità, sono di forze e di momenti eguali nel loro operare.
Momento, appresso i meccanici, significa quella virtù, quella forza, quella efficacia, con la quale il motor muove e 'l mobile resiste; la qual virtù depende non solo dalla semplice gravità, ma dalla velocità del moto, dalle diverse inclinazioni degli spazii sopra i quali si fa il moto, perché più fa impeto un grave descendente in uno spazio molto declive che in un meno. Ed in somma, qualunque si sia la cagione di tal virtù, ella tuttavia ritien nome di momento. Né mi pareva che questo senso dovesse giugner nuovo nella nostra favella; perché, s'io non erro, mi par che noi assai frequentemente diciamo "Questo è ben negozio grave, ma l'altro è di poco momento", e "Noi consideriamo le cose leggiere, e trapassiamo quelle che son di momento": metafore, stimer'io, tolte dalla meccanica.
Come, per esemplo, due pesi d'assoluta gravità eguali, posti in bilancia di braccia eguali, restano in equilibrio, né s'inclina l'uno alzando l'altro; perché l'egualità delle distanze di ambedue dal centro, sopra il quale la bilancia vien sostenuta e circa il quale ella si muove, fa che tali pesi, movendosi essa bilancia, passerebbono nello stesso tempo spazii eguali, cioè si moverieno con eguali velocità, onde non è ragione alcuna, per la quale questo peso più di quello, o quello più di questo, si debba abbassare; e per ciò si fa l'equilibrio, e restano i momenti loro di virtù simili ed eguali.
Il secondo principio è, che il momento e la forza della gravità venga accresciuto dalla velocità del moto; sì che pesi assolutamente eguali, ma congiunti con velocità diseguali, sieno di forza, momento e virtù diseguale, e più potente il più veloce, secondo la proporzione della velocità sua alla velocità dell'altro. Di questo abbiamo accomodatissimo esemplo nella libra o stadera di braccia diseguali, nelle quali posti pesi assolutamente eguali, non premono e fanno forza egualmente, ma quello che è nella maggior distanza dal centro, circa il quale la libra si muove, s'abbassa sollevando l'altro, ed è il moto di questo, che ascende, lento, e l'altro veloce: e tale è la forza e virtù che dalla velocità del moto vien conferita al mobile che la riceve, che ella può esquisitamente compensare altrettanto peso che all'altro mobile più tardo fosse accresciuto; sì che, se delle braccia della libra uno fosse dieci volte più lungo dell'altro, onde, nel muoversi la libra circa il suo centro, l'estremità di quello passasse dieci volte maggiore spazio che l'estremità di questo, un peso posto nella maggior distanza potrà sostenerne ed equilibrarne un altro dieci volte assolutamente più grave che non è egli; e ciò perché, movendosi la stadera, il minor peso si moveria dieci volte più velocemente che l'altro maggiore. Debbesi però sempre 'ntendere che i movimenti si faccino secondo le medesime inclinazioni, cioè che, se l'uno de' mobili si muove per la perpendicolare all'orizzonte, che l'altro parimente faccia 'l suo moto per simil perpendicolare; e se 'l moto dell'uno dovesse farsi nell'orizzontale, che anche l'altro sia fatto per lo stesso piano; e, in somma, sempre amendue in simili inclinazioni. Tal ragguagliamento tra la gravità e la velocità si ritrova in tutti gli strumenti meccanici, e fu considerato da Aristotile come principio nelle sue Questioni meccaniche: onde noi ancora possiamo prender per verissimo assunto che pesi assolutamente diseguali, alternatamente si contrappesano e si rendono di momenti eguali, ogni volta che le loro gravità con proporzione contraria rispondono alle velocità de' lor moti, cioè che quanto l'uno è men grave dell'altro, tanto sia in constituzione di muoversi più velocemente di quello.
Esplicate queste cose, già potremo cominciare ad investigare quali sieno que' corpi solidi che possono totalmente sommergersi nell'acqua e andare al fondo, e quali per necessità soprannuotano, sì che, spinti per forza sott'acqua, ritornano a galla con una parte della lor mole eminente sopra la superficie dell'acqua: e ciò faremo noi con lo speculare la scambievole operazione di essi solidi e dell'acqua, la quale operazione conséguita alla immersione; e questa è che, nel sommergersi che fa il solido, tirato al basso dalla propria sua gravità, viene discacciando l'acqua dal luogo dove egli successivamente subentra, e l'acqua discacciata si eleva e innalza sopra il primo suo livello, al quale alzamento essa altresì, come corpo grave, per sua natura resiste. E perché, immergendosi più e più il solido discendente, maggiore e maggior quantità d'acqua si solleva, sin che tutto il solido si sia tuffato, bisogna conferire i momenti della resistenza dell'acqua all'essere alzata, co' momenti della gravità premente del solido: e se i momenti della resistenza dell'acqua pareggeranno i momenti del solido avanti la sua totale immersione, allora senza dubbio si farà l'equilibrio, né più oltre si tufferà il solido; ma se il momento del solido supererà sempre i momenti co' quali l'acqua scacciata va successivamente faccendo resistenza, quello non solamente si sommergerà tutto sott'acqua, ma discenderà sino al fondo; ma se, finalmente, nel punto della total sommersione si farà l'agguagliamento tra i momenti del solido premente e dell'acqua resistente, allora si farà la quiete, e esso solido, in qualunque luogo dell'acqua, potrà indifferentemente fermarsi.
È sin qui manifesta la necessità di comparare insieme le gravità dell'acqua e de' solidi; e tale comparazione potrebbe nel primo aspetto parere sufficiente per poter concludere e determinare, quali sieno i solidi che sopranuotino, e quali quelli che vanno in fondo, pronunziando che quelli sopranuotino che saranno men gravi in ispecie dell'acqua, e quelli vadano al fondo che in ispecie saranno più gravi: imperocché pare che il solido nel sommergersi vada tuttavia alzando tant'acqua in mole, quanta è la parte della sua propria mole sommersa; per lo che impossibil sia che un solido men grave in ispecie dell'acqua si sommerga tutto, come impotente ad alzare un peso maggior del suo proprio, e tale sarebbe una mole d'acqua eguale alla mole sua propria; e parimente parrà necessario che il solido più grave vada al fondo, come di forza soprabbondante ad alzare una mole d'acqua eguale alla propria, ma inferior di peso. Tuttavia il negozio procede altramente, e benché le conclusioni sien vere, le cagioni però assegnate così, son difettose; né è vero che 'l solido nel sommergersi sollevi e scacci mole d'acqua eguale alla sua propria sommersa, anzi l'acqua sollevata è sempre meno che la parte del solido ch'è sommersa, e tanto più, quanto il vaso, nel quale si contien l'acqua, è più stretto: di modo che non repugna che un solido possa sommergersi tutto sott'acqua senza pure alzarne tanta, che in mole pareggi la decima o la ventesima parte della mole sua; sì come, all'incontro, picciolissima quantità d'acqua potrà sollevare una grandissima mole solida, ancorché tal solido pesasse assolutamente cento e più volte di essa acqua, tutta volta che la materia di tal solido sia in ispecie men grave dell'acqua; e così una grandissima trave, che, v. g., pesi 1000 libbre, potrà essere alzata e sostenuta da acqua che non ne pesi 50; e questo avverrà quando il momento dell'acqua venga compensato dalla velocità del suo moto.
Ma perché tali cose, profferite così in astratto, hanno qualche difficultà all'esser comprese, è bene che vegniamo a dimostrarle con esempli particulari: e, per agevolezza della dimostrazione, intenderemo, i vasi, ne' quali s'abbia ad infonder l'acqua e situare i solidi, esser circondati e racchiusi da sponde erette a perpendicolo sopra 'l piano dell'orizzonte, e 'l solido da porsi in tali vasi essere o cilindrico retto o prisma pur retto.
Il che dichiarato e supposto, vengo a dimostrare la verità di quanto ho accennato, formando il seguente teorema.
La mole dell'acqua che si alza nell'immergere un prisma o cilindro solido, o che s'abbassa nell'estrarlo, è minore della mole di esso solido demersa o estratta; e ad essa ha la medesima proporzione, che la superficie dell'acqua circunfusa al solido alla medesima superficie circunfusa insieme con la base del solido. Sia il vaso ABCD, ed in esso l'acqua alta sino al livello EFG, avanti che il prisma solido HIK vi sia immerso; ma dopo che egli è demerso, siasi sollevata l'acqua sino al livello LM: sarà dunque già il solido HIK tutto sott'acqua, e la mole dell'acqua alzata sarà LG, la quale è minore della mole del solido demerso, cioè di HIK, essendo eguale alla sola parte EIK, che si trova sotto il primo livello EFG. Il che è manifesto: perché se si cavasse fuori il solido HIK, l'acqua LG tornerebbe nel luogo occupato dalla mole EIK, dove era contenuta avanti l'immersione del prisma: ed essendo la mole LG eguale alla mole EK, aggiunta comunemente la mole EN, sarà tutta la mole EM, composta della parte del prisma EN e dell'acqua NF, eguale a tutto 'l solido HIK, e però la mole LG alla EM arà la medesima proporzione che alla mole HIK: ma la mole LG alla mole EM ha la medesima proporzione che la superficie LM alla superficie MH: adunque é manifesto, la mole dell'acqua sollevata LG alla mole del solido demerso HIK aver la medesima proporzione che la superficie LM, che è quella dell'acqua ambiente il solido, a tutta la superficie HM, composta della detta ambiente e della base del prisma HN. Ma se intenderemo, il primo livello dell'acqua essere secondo la superficie HM, ed il prisma già demerso HIK esser poi estratto ed alzato sino in EAO, e l'acqua essersi abbassata dal primo livello HLM sino in EFG, è manifesto che, essendo il prisma EAO l'istesso che HIK, la parte sua superiore HO sarà eguale all'inferiore EIK, rimossa la parte comune EN; ed, in conseguenza, la mole dell'acqua LG essere eguale alla mole HO, e però minore del solido che si trova fuor dell'acqua, che è tutto 'l prisma EAO, al quale similmente essa mole d'acqua abbassata LG ha la medesima proporzione che la superficie dell'acqua circumfusa LM alla medesima superficie circumfusa insieme con la base del prisma AO: il che ha la medesima dimostrazione che l'altro caso di sopra.
E di qui si raccoglie, che la mole dell'acqua che s'alza nell'immersion del solido, o che s'abbassa nell'estrarlo, non è eguale a tutta la mole del solido che si trova demersa o estratta, ma a quella parte solamente, che nell'immersione resta sotto il primo livello dell'acqua, e nell'estrazione riman sopra simil primo livello: che è quello che doveva esser dimostrato. Seguiteremo ora le altre cose.
E prima dimostrerremo, che quando in uno de' vasi sopraddetti, di qualunque larghezza, benché immensa o angusta, sia collocato un tal prisma o cilindro, circondato da acqua, se alzeremo tal solido a perpendicolo, l'acqua circunfusa s'abbasserà; e l'abbassamento dell'acqua all'alzamento del prisma avrà la medesima proporzione, che l'una delle base del prisma alla superficie dell'acqua circunfusa.
Sia nel vaso, qual si è detto, collocato il prisma ACDB, e nel resto dello spazio infusa l'acqua, sino al livello EA; e alzandosi il solido AD, sia trasferito in GM, e l'acqua s'abbassi da EA in NO: dico che la scesa dell'acqua, misurata dalla linea AO, alla salita del prisma, misurata dalla linea GA, ha la stessa proporzione, che la base del solido GH alla superficie dell'acqua NO. Il che è manifesto: perché la mole del solido GABH, alzata sopra 'l primo livello EAB, è eguale alla mole dell'acqua, che si è abbassata, ENOA: son dunque due prismi eguali, ENOA e GABH: ma de' prismi eguali le base rispondono contrariamente alle altezze: adunque, come l'altezza OA all'altezza AG, così è la superficie o base GH alla superficie dell'acqua NO. Quando dunque, per esemplo, una colonna fusse collocata in piede in un grandissimo vivaio pieno d'acqua, o pure in un pozzo, capace di poco più che la mole di detta colonna, nell'alzarla ed estrarla dell'acqua, secondo che la colonna si sollevasse, l'acqua, che la circonda, s'andrebbe abbassando; e l'abbassamento dell'acqua allo spazio dell'alzamento della colonna avrebbe la medesima proporzione, che la grossezza della colonna all'eccesso della larghezza del pozzo o vivaio sopra la grossezza di essa colonna: sì che, se il pozzo fusse l'ottava parte più largo della grossezza della colonna, e la larghezza del vivaio venticinque volte maggiore della medesima grossezza, nell'alzar che si facesse la colonna un braccio, l'acqua del pozzo s'abbasserebbe sette braccia, e quella del vivaio un ventiquattresimo di braccio solamente.
Dimostrato questo, non sarà difficile lo 'ntendere, per la sua vera cagione, come un prisma o cilindro retto, di materia in ispecie men grave dell'acqua, se sarà circondato dall'acqua secondo tutta la sua altezza, non resterà sotto, ma si solleverà, benché l'acqua circunfusa fosse pochissima e di gravità assoluta quanto si voglia inferiore alla gravità di esso prisma. Sia dunque nel vaso CDFB posto il prisma AEFB, men grave in ispecie dell'acqua, e, infusa l'acqua, alzisi sino all'altezza del prisma: dico che lasciato il prisma in sua libertà, si solleverà, sospinto dall'acqua circunfusa CDEA. Imperocché, essendo l'acqua CE più grave in ispecie del solido AF, maggior proporzione avrà il peso assoluto dell'acqua CE al peso assoluto del prisma AF che la mole CE alla mole AF (imperocché la stessa proporzione ha la mole alla mole, che il peso assoluto al peso assoluto, quando le moli sono della medesima gravità in ispecie): ma la mole CE alla mole AF ha la medesima proporzione, che la superficie dell'acqua CA alla superficie o base del prisma AB, la quale è la medesima che la proporzione dell'alzamento del prisma, quando si elevasse, all'abbassamento dell'acqua circunfusa CE: adunque il peso assoluto dell'acqua CE al peso assoluto del prisma AF ha maggior proporzione, che l'alzamento del prisma AF all'abbassamento di essa acqua CE. Il momento, dunque, composto della gravità assoluta dell'acqua CE e della velocità del suo abbassamento, mentre ella fa forza, premendo, di scacciare e di sollevare il solido AF, è maggiore del momento composto del peso assoluto del prisma AF e della tardità del suo alzamento, col qual momento egli contrasta allo scacciamento e forza fattagli dal momento dell'acqua: sarà dunque sollevato il prisma.
Séguita ora che procediamo avanti a dimostrare più particolarmente, sino a quanto saranno tali solidi, men gravi dell'acqua, sollevati, cioè qual parte di loro resterà sommersa, e quale sopra la superficie dell'acqua. Ma prima è necessario dimostrare il seguente lemma.
I pesi assoluti de' solidi hanno la proporzion composta delle proporzioni delle lor gravità in specie e delle lor moli.
Sieno due solidi A e B: dico, il peso assoluto di A al peso assoluto di B aver la proporzion composta delle proporzioni della gravità in ispecie di A alla gravità in ispecie di B e della mole A alla mole B. Abbia la linea D alla E la medesima proporzione che la gravità in ispecie di A alla gravità in ispecie di B, e la E alla F sia come la mole A alla mole B; è manifesto, la proporzione D ad F esser composta delle proporzioni D ad E ed E ad F: bisogna dunque dimostrare, come D ad F, così essere il peso assoluto di A al peso assoluto di B. Pongasi il solido C eguale ad A in mole, e della medesima gravità in ispecie del solido B: perché dunque A e C sono in mole eguali, il peso assoluto di A al peso assoluto di C avrà la medesima proporzione che la gravità in ispecie di A alla gravità in ispecie di C o di B, che è in ispecie la medesima, cioè che la linea D alla E: e perché C e B sono della medesima gravità in ispecie, sarà come il peso assoluto di C al peso assoluto di B, così la mole C, o vero la mole A, alla mole B, cioè la linea E alla F. Come dunque il peso assoluto di A al peso assoluto di C, così la linea D alla E, e come il peso assoluto di C al peso assoluto di B, così la linea E alla F: adunque, per la proporzione eguale, il peso assoluto di A al peso assoluto di B è come la linea D alla linea F: che bisognava dimostrare.
Passo ora a dimostrar come: Se un cilindro o prisma solido sarà men grave in ispecie dell'acqua, posto in un vaso come di sopra, di qual si voglia grandezza, e infusa poi l'acqua, resterà il solido senza essere sollevato sin che l'acqua arrivi a tal parte dell'altezza di quello, alla quale tutta l'altezza del prisma abbia la medesima proporzione che la gravità in ispecie dell'acqua alla gravità in ispecie di esso solido; ma infondendo più acqua, il solido si solleverà.
Sia il vaso MLGN, di qualunque grandezza, ed in esso sia collocato il prisma solido DFGE, men grave in ispecie dell'acqua; e qual proporzione ha la gravità in ispecie dell'acqua a quella del prisma, tale abbia l'altezza DF all'altezza FB: dico che, infondendosi acqua sino all'altezza FB, il solido DG non si eleverà, ma ben sarà ridotto all'equilibrio, sì che ogni poco più d'acqua che si aggiunga, si solleverà. Sia dunque infusa l'acqua sino al livello ABC; e perché la gravità in ispecie del solido DG alla gravità in ispecie dell'acqua è come l'altezza BF all'altezza FD, cioè come la mole BG alla mole GD, e la proporzione della mole BG alla mole GD con la proporzione della mole GD alla mole AF compongono la proporzione della mole BG alla mole AF, adunque la mole BG alla mole AF ha la proporzion composta delle proporzioni della gravità in ispecie del solido GD alla gravità in ispecie dell'acqua e della mole GD alla mole AF. Ma le medesime proporzioni, della gravità in ispecie di GD alla gravità in ispecie dell'acqua, e della mole GD alla mole AF, compongono ancora, per lo lemma precedente, la proporzione del peso assoluto del solido DG al peso assoluto della mole dell'acqua AF: adunque, come la mole BG alla mole AF, così è il peso assoluto del solido DG al peso assoluto della mole dell'acqua AF. Ma come la mole BG alla mole AF, così è la base del prisma DE alla superficie dell'acqua AB, e così la scesa dell'acqua AB alla salita del solido DG: adunque la scesa dell'acqua alla salita del prisma ha la medesima proporzione, che il peso assoluto del prisma al peso assoluto dell'acqua; adunque il momento resultante dalla gravità assoluta dell'acqua AF e dalla velocità del moto nell'abbassarsi, col qual momento ella fa forza per cacciare e sollevare il prisma DG, è eguale al momento che risulta dalla gravità assoluta del prisma DG e dalla velocità del moto con la quale, sollevato, ascenderebbe; col qual momento e' resiste all'essere alzato: perché dunque tali momenti sono eguali, si farà l'equilibrio tra l'acqua e 'l solido. Ed è manifesto che, aggiugnendo un poco d'acqua sopra l'altra AF, s'accrescerà gravità e momento, onde il prisma DG sarà superato e alzato, sin che la sola parte BF resti sommersa: che è quello che bisognava dimostrare.
Da quanto si è dimostrato si fa manifesto, come i solidi men gravi in ispecie dell'acqua si sommergono solamente sin tanto, che tanta acqua in mole quanta è la parte del solido sommersa pesi assolutamente quanto tutto il solido. Imperocché, essendosi posto che la gravità in ispecie dell'acqua alla gravità in ispecie del prisma DG abbia la medesima proporzione che l'altezza DF all'altezza FB, cioè che il solido DG al solido GB, dimostrerremo agevolmente, che tanta acqua in mole quanta è la mole del solido BG, pesa assolutamente quanto tutto il solido DG. Imperocché, per lo lemma precedente, il peso assoluto d'una mole d'acqua eguale alla mole BG, al peso assoluto del prisma DG ha la proporzione composta delle proporzioni della mole BG alla mole GD e della gravità in ispecie dell'acqua alla gravità in ispecie del prisma: ma la gravità in ispecie dell'acqua, alla gravità in ispecie del prisma è posta come la mole DG alla mole GB: adunque la gravità assoluta d'una mole d'acqua uguale alla mole BG, alla gravità assoluta del solido GD ha la proporzione composta delle proporzioni della mole BG alla mole GD e della mole DG alla mole GB, che è proporzione d'egualità. La gravità, dunque, assoluta d'una mole d'acqua eguale alla parte della mole del prisma BG, è eguale alla gravità assoluta di tutto 'l solido DG.
Séguita in oltre che, posto un solido men grave dell'acqua in un vaso di qual si voglia grandezza, e circunfusagli attorno acqua sino a tale altezza, che tanta acqua in mole, quanta sia la parte del solido sommersa, pesi assolutamente quanto tutto il solido, egli da tale acqua sarà giustamente sostenuto, e sia l'acqua circunfusa in quantità immensa o pochissima. Imperocchè, se il cilindro o prisma M, men grave dell'acqua, v. g., in proporzione subsesquiterza, sarà posto nel vaso immenso ABCD, e alzatagli attorno l'acqua sino a' tre quarti della sua altezza, cioè sino al livello AD, sarà sostenuto e equilibrato per appunto: lo stesso gli accadrebbe se il vaso ENSF fusse piccolissimo, in modo che tra 'l vaso e 'l solido M restasse uno angustissimo spazio, e solamente capace di tanta acqua che né anche fusse la centesima parte della mole M, dalla quale egli similmente sarebbe sollevato e retto, come prima ella fusse alzata sino alli tre quarti dell'altezza del solido. Il che a molti potrebbe, nel primo aspetto, aver sembianza di grandissimo paradosso, e destar concetto che la dimostrazione di tale effetto fosse sofistica e fallace; ma per quelli che per tale la reputassero, c'è la sperienza di mezo, che potrà rendergli certi: ma chi sarà capace di quanto importi la velocità del moto, e come ella a capello ricompensa il difetto e 'l mancamento di gravità, cesserà di maravigliarsi, nel considerare come all'alzamento del solido M pochissimo s'abbassa la gran mole dell'acqua ABCD, ma assaissimo ed in uno stante decresce la piccolissima mole dell'acqua ENSF come prima il solido M si eleva, benché per brevissimo spazio; onde il momento composto della poca gravità assoluta dell'acqua ENSF e della grandissima velocità nello abbassarsi, pareggia la forza e 'l momento che risulta dalla composizione dell'immensa gravità dell'acqua ABCD con la grandissima tardità nell'abbassarsi, avvegna che, nell'alzarsi il solido M, l'abbassamento della pochissima acqua ES si muove tanto più velocemente che la grandissima mole dell'acqua AC, quanto appunto questa è più di quella. Il che dimostrerremo così.
Nel sollevarsi il solido M, l'alzamento suo all'abbassamento dell'acqua ENSF circunfusa ha la medesima proporzione, che la superficie di essa acqua alla superficie o base di esso solido M; la qual base alla superficie dell'acqua AD ha la proporzion medesima, che l'abbassamento dell'acqua AC all'alzamento del solido M; adunque, per la proporzion perturbata, nell'alzarsi il medesimo solido M, l'abbassamento dell'acqua ABCD all'abbassamento dell'acqua ENSF ha la medesima proporzione, che la superficie dell'acqua EF alla superficie dell'acqua AD, cioè che tutta la mole dell'acqua ENSF a tutta la mole ABCD, essendo egualmente alte. È manifesto, dunque, come nel cacciamento e alzamento del solido M l'acqua ENSF supera in velocità di moto l'acqua ABCD di tanto, di quanto ella vien superata da quella in quantità: onde i momenti loro in tale operazione son ragguagliati.
E per amplissima confermazione e più chiara esplicazione di questo medesimo, considerisi la presente figura (e, s'io non m'inganno, potrà servire per cavar d'errore alcuni meccanici prattici, che sopra un falso fondamento tentano talora imprese impossibili), nella quale al vaso larghissimo EIDF, vien continuata l'angustissima canna ICAB, ed intendasi in essi infusa l'acqua sino al livello LGH; la quale in questo stato si quieterà, non senza meraviglia di alcuno, che non capirà così subito come esser possa, che il grave carico della gran mole dell'acqua GD, premendo abbasso, non sollevi e scacci la piccola quantità dell'altra contenuta dentro alla canna CL, dalla quale gli vien contesa ed impedita la scesa. Ma tal meraviglia cesserà, se noi cominceremo a fingere l'acqua GD essersi abbassata solamente sino a QO, e considereremo poi ciò che averà fatto l'acqua CL. la quale, per dar luogo all'altra che si è scemata dal livello GH sino al livello QO, doverà per necessità essersi nell'istesso tempo alzata dal livello L sino in AB, ed esser la salita LB tanto maggiore della scesa GQ, quant'è l'ampiezza del vaso GD maggiore della larghezza della canna LC, che in somma è quanto l'acqua GD è più della LC. Ma essendo che il momento della velocità del moto in un mobile compensa quello della gravità di un altro, qual meraviglia sarà se la velocissima salita della poca acqua CL resisterà alla tardissima scesa della molta GD?
Accade, adunque, in questa operazione lo stesso a capello che nella stadera, nella quale un peso di due libre ne contrappeserà un altro di 200, tuttavolta che nel tempo medesimo quello si dovesse muovere per ispazio 100 volte maggiore che questo; il che accade quando l'un braccio della libra sia più cento volte lungo dell'altro. Cessi per tanto la falsa opinione in quelli che stimavano che un navilio meglio e più agevolmente fosse sostenuto in grandissima copia d'acqua che in minor quantità (fu ciò creduto da Aristotile ne' Problemi, alla Sezion 23, Probl. 2), essendo, all'incontro, vero che è possibile che una nave così ben galleggi in dieci botti di acqua come nell'oceano.
Ma, seguitando la nostra materia, dico che da quanto si è sin qui dimostrato possiamo intendere, come uno de' soprannominati solidi, quando fusse più grave in ispecie dell'acqua, non potrebbe mai da qualsivoglia quantità di quella esser sostenuto. Imperò che, avendo noi veduto, come il momento, col quale un tal solido grave in ispecie come l'acqua contrasta col momento di qualunque mole d'acqua, è potente a ritenerlo sino alla total sommersione, senza che egli si elevi; resta manifesto, che molto meno potrà dall'acqua esser sollevato, quando e' sia più di quella grave in ispecie: onde, infondendosi acqua sino alla total sua sommersione, resterà ancora in fondo, e con tanta gravità e renitenza all'esser sollevato, quanto è l'eccesso del suo peso assoluto sopra il peso assoluto d'una mole a sé eguale fatta d'acqua o di materia in ispecie egualmente grave come l'acqua. E benché s'aggiugnesse poi grandissima quantità d'acqua sopra il livello di quella che pareggia l'altezza del solido, non però s'accresce la pressione o aggravamento delle parti circonfuse al detto solido, per la quale maggior pressione egli avesse ad esser cacciato; perché il contrasto non gli vien fatto se non da quelle parti dell'acqua, le quali al moto d'esso solido esse ancora si muovono, e queste son quelle solamente che son comprese tra le due superficie equidistanti all'orizzonte e fra di loro parallele, le quali comprendon l'altezza del solido immerso nell'acqua.
Parmi d'aver sin qui a bastanza dichiarata e aperta la strada alla contemplazione della vera, intrinseca e propria cagione de' diversi movimenti e della quiete de' diversi corpi solidi ne' diversi mezi e in particolare nell'acqua, mostrando come in effetto il tutto depende dagli scambievoli eccessi della gravità de' mobili e de' mezi, e, quello che sommamente importava, rimovendo l'instanza ch'a molti avrebbe potuto per avventura apportar gran dubbio e difficultà intorn'alla verità della mia conclusione, cioè come, stante che l'eccesso della gravità dell'acqua sopra la gravità del solido, che in essa si pone, sia cagion del suo galleggiare e sollevarsi dal fondo alla superficie, possa una quantità d'acqua, che pesi meno di dieci libre, sollevare un solido che pesi più di cento: dove abbiamo dimostrato, come basta che tali differenze si trovino tra le gravità in ispecie de' mezi e de' mobili, e sien poi le gravità particolari e assolute quali esser si vogliano; in guisa tale che un solido, purch'ei sia in ispezie men grave dell'acqua, benché poi di peso assoluto fosse mille libre, potrà da dieci libre d'acqua, e meno, essere innalzato; e, all'opposito, altro solido, purché in ispecie sia più grave dell'acqua, benché di peso assoluto non fosse più d'una libbra, non potrà da tutto 'l mare esser sollevato dal fondo o sostenuto. Questo mi basta, per quanto appartiene al presente negozio, avere co' sopra dichiarati esempli scoperto e dimostrato, senza estender tal materia più oltre e, come si potrebbe, in lungo trattato; anzi, se non fosse stata la necessità di risolvere il sopra posto dubbio, mi sarei fermato in quello solamente che da Archimede vien dimostrato nel primo libro Delle cose che stanno sopra l'