129. Gravitazione universale. — Se la Luna e i pianeti obbediscono alle leggi meccaniche da noi studiate, debbono subire una forza attrattiva da parte del centro intorno a cui girano, eguale alla forza centripeta necessaria per mantenerli su un’orbita circolare malgrado l’inerzia.
Consideriamo, in particolare, il caso della Luna girante attorno alla Terra. La forza che deve agire su ciascun grammo-massa della Luna per obbligarla a compiere un giro in 27 giorni, 7 ore e 43 minuti, sarà per la (7) del § 44,
nella quale si è posto per R la distanza tra la Terra e la Luna eguale a 60 raggi terrestri.
Questa forza ha qualcosa di comune con il peso dei corpi alla superficie terrestre? Numericamente essa è molto minore, poichè alla superficie terrestre un grammo-massa è attirato con la forza di 980 dine, cioè con una forza circa 3600 volte più intensa.
Il celebre Newton, che fece per primo queste considerazioni, non si sorprese molto di questa differenza, poichè pensò che l’attrazione terrestre potrebbe diminuire con la distanza dal centro del corpo attraente; e se essa diminuisse in ragione del quadrato della distanza, alla distanza della Luna dal centro della Terra, che è circa 60 volte maggiore di quella dei corpi della superficie, la forza attrattiva dovrebbe appunto divenire 3600 volte più piccola, poichè 3600 è il quadrato di 60.
Newton ne dedusse che la forza centripeta esercitata sulla Luna è un caso particolare della forza di gravità, o meglio che questa è alla sua volta un caso particolare di un fenomeno generale cui sarebbe sottoposta la materia, e che due parti qualsiasi di questa si attirano con una forza proporzionale alle masse in presenza e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. A questa causa sarebbe dovuto il moto dei pianeti intorno al Sole che li attirerebbe con una forza dipendente dalla loro distanza. Sottoponendo al calcolo questa ipotesi, egli potè così giustificare le tre leggi cinematiche di Keplero, cosicchè la ipotesi stessa ne ebbe una conferma importante.
Ma v’ha di più. — La massa del Sole è enorme di fronte a quella dei pianeti, e perciò la sua forza attrattiva è preponderante nell’insieme delle forze reciproche che i pianeti esercitano tra loro. Ciò non toglie però che queste forze reciproche esistano; esse avranno per effetto di perturbare il moto dei pianeti, cosicchè le loro orbite a rigore non dovrebbero essere ellittiche.
E le cose van proprio così, e perciò la legge di Newton è esatta, e non le leggi di Keplero che aiutarono a scoprire la prima. Dalle mutue influenze dei pianeti si può dedurre la loro massa, e le perturbazioni delle orbite ne riescono completamente spiegate. Solo per Urano, quando ancora Nettuno non era stato scoperto, si notavano delle lievi perturbazioni nel moto, che la presenza degli altri cinque pianeti più interni non bastava a spiegare. Si ammise allora da Le Verrier l’esistenza di un pianeta ignoto, calcolandone la massa e la traiettoria, sulla base delle perturbazioni di Urano e della legge di Newton. Il pianeta ipotetico fu in realtà ritrovato da Galle, nel posto assegnatogli da Le Verrier. Tale scoperta è una delle più brillanti che possa vantare l’ingegno umano.
Ma anche alla superficie terrestre l’esistenza di forze attrattive tra i corpi, richiesta dalla legge di Newton, potè essere constatata con un procedimento delicatissimo messo in opera per primo da Cavendish, e poi perfezionato da altri. Si potè così stabilire, da Boys e Poynting, che tra due corpi di un grammo-massa, alla distanza di 1 cm., si esercita la forza di 69 milionesimi di dine. E poichè la Terra, col suo centro a 6370 chilometri, attira un grammo alla sua superficie con la forza di 980 dine, si deduce che la massa della Terra dev’essere di 5963 ' 1024 grammi.
La legge di Newton può esprimersi analiticamente per mezzo della seguente formola, ove F è la forza attrattiva, M e M' sono le masse in presenza, r la loro distanza e K una costante
La costante K esprime la forza con cui un grammo attira un altro grammo alla distanza di 1 cm; si ha perciò
Nota la massa della Terra, e conoscendosene il volume, se ne deduce la densità media. — Essa risulta espressa dal numero 5,5 all’incirca, cioè una densità maggiore di quella degli strati superficiali, che è di circa 2,5.