5. In tutti i casi in cui, come nell’esempio citato, una grandezza (es. la deformazione) acquista valori diversi al variare di un’altra grandezza (il peso), si dice che la prima è funzione della seconda. — Talvolta, come nel caso precedente, è possibile esprimere per mezzo di una formola il modo di dipendere dell’una dall’altra grandezza; talvolta invece la legge di dipendenza algebrica non è facile a trovare, o anche non esiste, e ci si deve contentare della rappresentazione con le tabelle, o della rappresentazione grafica.

Nell’esempio surriferito il rapporto tra la funzione (la deformazione) e la variabile (il peso) era costante:

Per un’altra lamina di lunghezza maggiore si sarebbe potuto trovare invece

cioè il rapporto sarebbe ancora costante, ma diverso dal precedente; e in generale per una lamina qualsiasi il rapporto avrebbe avuto un valore K costante per ciascuna lamina, ma diverso per le diverse lamine:

Questa formola può anche scriversi:

la quale ci dice che per una data lamina, qualunque essa sia, raddoppiando o triplicando il peso si raddoppia o si triplica la deformazione.

Quando una simile relazione di dipendenza intercede tra la funzione e la variabile si dice che la prima è direttamente proporzionale alla seconda.

Supponiamo invece che la dipendenza tra la funzione f e la variabile v sia espressa dalla formola

ove K è costante mentre variano v ed f; allora se v acquista un valore doppio o triplo, f diviene la metà, un terzo di prima —, si dice in tal caso che la f è inversamente proporzionale alla v.

Si riconosce subito che si ha la proporzionalità diretta quando nella formola la variabile v comparisce nel numeratore, mentre si ha la proporzionalità inversa se la v comparisce nel denominatore.

Ammettiamo adesso che la f e la v siano legate dalla formola

nella quale K è sempre costante — allora raddoppiando v, la f diviene quadrupla; triplicando v, la f diviene nonupla ecc. Si dice in tal caso che la f è proporzionale al quadrato di v.

E così nella formola

f sarà proporzionale al cubo di v, ecc.

La proporzionalità sarebbe inversa se la v elevata a un esponente qualsiasi comparisse invece al denominatore.

 In certi casi però la funzione può dipendere da più variabili anzichè da una sola. — Così nella flessione di una lamina la deformazione d dipende oltre che dal peso p anche dalla lunghezza l, dalla larghezza a e dallo spessore b, oltre che dalla natura della lamina. — Si è trovato che per una data sostanza la deformazione è in ogni caso calcolabile con la formola

Essa contiene tutte le leggi della flessione, che possono essere tradotte nel seguente enunciato :

La flessione di una lamina è proporzionale al peso e al cubo della lunghezza, è inversamente proporzionale alla larghezza e al cubo dello spessore.

In tal caso dire, per es., che la deformazione è proporzionale alla terza potenza della lunghezza vuol dire che tenute costanti le altre grandezze contenute nella formola, quali il peso, la larghezza e lo spessore, e raddoppiando o triplicando la sola lunghezza, la deformazione diviene otto volte, o 27 volte maggiore.