La fama di Archimede suona così chiara presso di tutti, che scriverne l’elogio si potrebbe forse reputare un’opera inutile e superflua. I matematici d’ogni età pieni di venerazione han ricordato il nome di lui, e lui hanno mostrato come uno di que’ pochi, che vaghi del sapere e speculando nelle scienze sono là giunti dove può umano intelletto. Se da geometri ci rivolgiamo agli storici, e in generale a tutti gli eruditi, troviamo, che alla venerazione di quelli si è aggiunta l’ammirazione di questi. Hanno essi tra le invenzioni di Archimede quelle riferito, che colpiscono i sensi, quali son le meccaniche, e queste lodando e talvolta esagerando gli han decretato il primo posto d’onore tra gli scienziati. La voce pubblica in fine magnificando, come suole, il giudizio de’ sapienti si è sparsa per tutta la terra, ed Archimede va ognora gridando qual genio soprumano e divino. Chi potrà dopo ciò lui inalzar colle lodi, se il solo suo nome risveglia la pubblica venerazione e tien luogo di qualsivoglia elogio? Ogni lode sarebbe inferiore alla sua fama, e invece d’accrescere sminuir ne potrebbe la gloria.

La Sicilia ciò non ostante non può in silenzio restare sui pregi e sulle virtù di un grand’uomo, che sarà, siccome è stato, il suo ornamento ed onore finchè saranno le scienze tra gli uomini. Solea ella ne’ dì felici medaglie coniare e pubblici giuochi istituire per onorar la memoria de’ suoi, che colle loro invenzioni e nelle scienze e nelle arti a fama eterna l’alzarono. Cadde poi dalla sua grandezza cadendo sotto i Romani, e tra le altre afflizioni ebbe allora a soffrire, che fosse venuto uno straniero a svellere i bronchi e le spine, che il sepolcro ingombravano del nostro Archimede1. Ma se la Sicilia non è oggi quale era una volta ne’ bei giorni del suo splendore, non trovasi certo in quel miserabile stato, in cui preda de’ Proconsoli e de’ Questori oppressa giacea dalla potenza di Roma. Conosce ella al presente quanto lustro le rechi il nome di Archimede, e non sa nè può tollerare, che co’ debiti onori celebrata non sia di quando in quando la memoria di lui.

Niuno adunque, che giusto estimator sia delle cose, potrà come inutile o inavveduto riputare un discorso, che in segno di riverenza e di omaggio ricorderà Archimede, e le sue famose scoverte. Mostrerà tal discorso più la nostra gratitudine che la sua grandezza, richiamerà alla mente più la nostra che la sua gloria, tornerà in somma più a nostro vantaggio che ad onore di lui; poichè alla vista di sì nobil modello è da sperare, che resteranno i nostri sospinti vie più allo studio delle cose geometriche, studio che può innalzar la Sicilia ad un rango d’onore tra le colte e polite nazioni.

Siracusa città ricca e potente, sia che fosse stata libera o pure oppressa da’ tiranni, di studii e d’ingegni fu sempre fioritissima. Avendo essa accolto la dottrina prima di Pitagora e poi di Platone accolse del pari le pure matematiche, che da quelle due scuole ebbero in Grecia accrescimento e splendore. La corte in fatti de’ suoi tiranni si vide più d’una volta piena di geometri, che figure sulla polve tracciavano, e verità dimostravano di geometria2. E se le matematiche, vinta la Grecia, irono poi a stabilirsi in Egitto seguendo le insegne del vincitore e quasi tornando al loro suolo natío; Siracusa, che aveva emulato la Grecia negli ottimi studj, non lasciò di concorrere nella coltura delle severe scienze colla città de’ Tolomei: produsse il grande Archimede, che dovea la palma rapire negli onori matematici alla stessa Alessandria.

Nacque egli nell’anno secondo della olimpiade 1233; e, poichè i sommi uomini giungono a dar lustro al diadema ancora de’ Re, non è da tacere, che, al dir di Plutarco, in parentela era stretto col secondo Gerone4. Erano, egli è vero, al nascer d’Archimede turbate le cose pubbliche in Siracusa; ma queste furon presto ordinate da Gerone, che richiamò nel suo regno, e finchè visse ritenne la pace, l’opulenza, e la felicità. Però Archimede crescendo di età trovò nella patria pronti gli avviamenti alle scienze, che sempre più prosperavano per lo continuo commercio, che Siracusa faceva così colla Grecia che coll’Egitto.

Lo studio allora in onore, e cui si volgeano sopra ogni altro gl’ingegni, era tutto innocente, e quello dell’esatte discipline, che aveano e stanza e scuola nella città di Alessandria. Tutti correano a questo ginnasio, in cui Euclide avea insegnato la geometria, e i Tolomei aveano onorato, e onoravano le scienze e gli scienziati. Archimede adunque disposto come era a tale sorta di studj fu sollecito di occuparsene, obbedendo in parte alla sua naturale inclinazione, e alla moda in parte de’ tempi, che suole ancor essa esercitare il suo impero sui nostri gusti e sulle nostre occupazioni.

Ignorasi, se Archimede ammaestrato prima in Siracusa abbia poi fornito i suoi studj in Alessandria; ma egli è certo, che lesse i geometri, che erano stati prima di lui, e ne ammirò il metodo e la sodezza. I greci geometri guidati da pochi e semplici principj camminavano sempre sotto un cielo privo affatto di nubi, a passi tanto più sodi quanto più stretti, parlando senza equivoci, e ragionando senza cavilli. Vide ei questo metodo e l’abbellì conservando alla greca geometria i naturali suoi pregi, e d’altre bellezze adornandola, che ancora fioriscono, nè per giro di secoli o novità di scoverte appassiranno giammai.

Continuo nel meditare singolar diletto prendeva il nostro geometra non che delle pure, ma delle miste discipline, che molta utilità promettono alla vita civile. Ebbe degli amici, tra’ quali quelli, che più da noi si conoscono, furon geometri. Pianse egli di fatto la perdita di Conone, e, morto questo, a Dositeo scrivea e svelava il primo a costui le sue ingegnose scoverte. Amò egli la gloria, come fanno le nobili anime, e questa riponea nel sostenere il travaglio di nuove e più difficili speculazioni. Nè fu di quei sapienti, che fuggono il consorzio de’ grandi alcuna volta per semplicità e rozzezza, spesso per ostentazione ed orgoglio: si avvicinava egli a Gerone, e intrattenea questo principe, si dica ad onor d’ambidue, della costruzione di nuove macchine o dell’inventiva di ardui problemi di meccanica. Non isdegnò l’amicizia di Gelone giovine allora ed erede del trono, cui dichiarava i suoi novelli pensieri sopra l’aritmetica5. Visse in somma caro a tutti, presso tutti in onore, sempre speculando e sempre inventando a pro delle scienze, in favor della patria, ad utile della società.

Queste e così poche son le notizie a noi pervenute della vita di Archimede; e ben ci dovremmo dolere di essersi perduto ciò, che Eraclide scrisse di lui, se non ci fosse gran parte restata delle sue opere. In queste la storia si trova della sua vita, perchè quella si legge de’ suoi pensamenti, e scritte si osservano le sue illustri azioni, perchè notate si ammirano le sue belle scoverte. In questi libri l’andamento si scopre del suo spirito per istabilire la sublime geometria, i suoi sforzi generosi si scorgono per vincere le difficoltà, che di passo in passo incontrava, chiara si vede l’immagine della sua mente, tutto in somma si conosce Archimede. Per lo che studiati i suoi libri, non recherà più maraviglia, se egli superiore agli altri geometri per la forza del pensiero, per l’acume dell’inventare, e per la grandezza dell’immaginazione abbia ciascun di loro oltrepassato così per la copia e varietà, come per l’importanza e utilità delle invenzioni.

I primi geometri soprapponendo colla mente una figura ad un’altra dimostrarono l’eguaglianza delle figure rettilinee, e la greca fondarono allora nascente geometria; ma non potendo soprapporre una retta ad una curva non poterono misurare le grandezze curvilinee, o sia non seppero nè poterono quadrare. La difficoltà arrestò i loro passi, ma non vinse i loro ingegni, e facendo altri nuovi tentativi il metodo dell’iscrizione inventarono.

Iscrivendo in una curva da prima un quadrato, e poi di mano in mano triangoli, giunsero ad un poligono, la cui superficie, se non era eguale a quella della curva, da questa almeno si differiva pochissimo. Questo metodo fu espresso da Euclide sotto una forma generale6, e potea certamente guidare i geometri verso la meta da lor sospirata. Altro non era da farsi, che spingere più e più, ed anche più oltre, l’iscrizione, affinchè la differenza tra la curva e ’l poligono iscritto si fosse in modo tale estremata, che come nulla si avesse potuto reputare. Il contorno del poligono si sarebbe allora confuso colla curva, e la superficie di questa a quella del primo sarebbe venuta certamente eguale. Ma come la geometria era in quei tempi molto rigida e severa; così i geometri mancavano d’ardimento. Niuno avrebbe osato affermare due quantità, la cui differenza era minima, insensibile, e pressochè nulla, potersi tenere per eguali; poichè una differenza, quanto che piccola, fra due quantità, era allora riputata sempre finita, e come tale di qualche valore. La geometria ritenne, egli è vero, in sì fatto modo la sua evidenza, ma fu impedita di più oltre avanzarsi dal suo rigore medesimo: la quadratura in fatti del cerchio fu sino ad Archimede, come era stata per lo innanzi, il tormento de’ più nobili ingegni, e lo scoglio de’ più valorosi geometri.

Altro vantaggio non si ritrasse allor dall’iscrivere, che quello di coglier la proporzione, in cui si tengono tra loro alcune curve o altri corpi rotondi: poichè usando i geometri dell’iscrizione giunsero a determinar la ragione, che hanno i circoli tra loro, o pur le sfere, e quella che prismi lega e piramidi, o pure coni e cilindri della medesima base ed altezza. Ma queste scoverte medesime, di cui prima fu lieta la geometria, le annunziarono ben presto la sua povertà, perchè collo ajuto di queste furono i geometri quasi sopra un’altezza condotti, donde per la prima volta poterono scorgere i campi vastissimi delle grandezze curvilinee; si accesero quindi di nobil vaghezza, e alla misura di sì fatti spazj sollecitamente si volsero; ma incerti e timidi e ritenuti dal rigor matematico non sapeano più oltre procedere, quando Archimede franco di animo e pieno di senno si mise loro innanzi, e ne imprese la stentata ricerca.

Guardò egli da prima le fatiche di quelli, che erano stati innanzi a lui, e vide ad un tratto e di che i loro metodi mancavano, e sino a qual termine coll’ajuto di questi avrebbero essi potuto giungere, e non erano giunti giammai. Pieno quinci di valore ritrasse i geometri dalla quadratura del cerchio, cui si stavano intenti ed affollati, ed indicando loro un cammino men aspro li condusse a quadrar la parabola. In questa curva non iscrive il nostro geometra che soli triangoli; ma nell’iscrivere presto s’avvede il primo triangolo a’ secondi, questi a quelli che seguono, e gli altri appresso essere tutti legati sì stretto, che nella medesima ragione decrescano formando una progression geometrica. Non prima egli, che avea gran polso, di ciò s’accorse, che di tal progressione si mette a ricercare la somma; giacchè, questa conosciuta, l’area si conosce della parabola, che da que’ triangoli si esprime, e tutta in quella progressione si racchiude e comprende. Ma ricerca era questa e nuova e difficile, in cui niun geometra potea a lui porger conforto, perchè niuno si era ancora avvenuto in tali serie, dalle quali, come è noto, il quadrar delle curve in gran parte dipende. Ciò non ostante scorre egli il primo que’ nuovi campi d’invenzione, e raunando poche e già note verità trae da queste, e pronto raccoglie la somma d’una progressione, che nella ragion geometrica decresce. Trova, che, quale si fosse il numero dei termini, sempre la sua somma risulta eguale ad una funzione costante del primo, che viene ad essere quattro terzi del triangolo iscritto, la cui base ed altezza è a quella eguale dello spazio parabolico: per lo che in questo triangolo il primo legge, e il primo agli altri manifesta l’esatta misura della superficie della parabola. Molti, par ch’egli dica a Dositeo, molti in tempi diversi han tentato di misurare or questa curva ed ora quell’altra, ma i loro sforzi, per quanto mi sappia, sono in vano tornati. Le lunule d’Ippocrate, di cui si mena gran vanto, non sono in realtà, che giuoco e trastullo di speculazion geometrica. Io vi presento uno spazio tra una retta racchiuso e la parabola, e questo vo sicuro misurando con principj non già dubbj, ma certi, non già miei, ma vostri; poichè iscrivendo han già mostrato i geometri i rapporti, con cui si attengono i circoli o le sfere tra loro, o pur la piramide al prisma, e il cono al cilindro, e iscrivendo sono io giunto a misurar la parabola7. Così egli dicea, e i geometri della sua età videro per la prima volta misurato esattamente uno spazio curvilineo, e ne presero ammirazione. Gli stessi moderni, che levano tanto grido delle loro algebriche equazioni, hanno il magistero ammirato, con cui egli il primo giunse a quadrare lo spazio tra una retta racchiuso e la parabola.

Archimede nel quadrar questa curva non spinge i triangoli ad un numero infinito secando all’infinito le corde del poligono iscritto, affinchè potesse in ultimo confondere l’area di questo con quella della parabola. Sapea egli, che i geometri avrebbero disapprovato altamente questa maniera di ragionare, se non come falsa ed incerta, almeno come inusitata e priva di evidenza. Avevano alcuni recato la misura del cerchio e dell’ellisse; ma come l’aveano fondato non già su’ principj che eran falsi, ma sopra lemmi difficili a potersi ammettere; così quella misura era stata rigettata da’ successori di Euclide8. Tanto in que’ dì erano rigorosi e severi gli efori delle matematiche, i quali in Alessandria dettavano leggi e divieti contro coloro, che macchiavan per poco la purezza della geometria.

Però nel quadrar la parabola, e, questa quadrata, volgendosi alla misura delle altre curve fu sollecito di evitare le misure inesatte e nebbiose d’infinito e d’infinitesimo, tra le quali ogni grandezza curvilinea naturalmente si stanzia, e concepì l’alto e nobilissimo disegno di fondare la geometria delle curve su quelle stesse basi, su cui erano stati posati gli elementi della scienza. Cogli stessi principj, collo stesso rigore, colla stessa evidenza pensò di avanzarsi creando la dottrina delle curve, che avevano fatto i suoi antecessori formando gli elementi. E come i geometri tentando di passare dalle figure rettilinee alle curvilinee ebbero per principio incontrastabile, che la differenza tra due quantità, per piccola che fosse stata, poteva aggiunta più volte a se stessa divenir maggiore di una quantità finita della medesima specie9; così ancora Archimede tenne per fondamentale sì fatto principio, ed ebbe gran cura di stabilir sul medesimo le sue dimostrazioni: pensò in somma di presentare nella sublime geometria la sembianza istessa degli elementi, anzi una semplice continuazione de’ libri del severissimo Euclide.

Ma questo progetto, che era degno di se e del suo meraviglioso intelletto, lo stringea a battere una via soda, egli è vero, ma lunga e tortuosa e tanto più aspra, quanto le curve sdegnano l’esattezza, e quella precision di misura, di cui è capace la parabola. Per progredire quindi con sicurezza ideò prima un metodo particolare, che servir gli dovesse di guida, e mosse tosto celeri passi verso l’invenzione.

Il primo passo, che diè, fu quello di comparare le curve alle rette, che tra loro non si erano mai poste in confronto, perchè allora si credeano di natura diversa; ma nel dar questo passo, che liberava la scienza dagli antichi ceppi, mostrò Archimede non che forza e coraggio, ma accorgimento e prudenza. Non si tolse a dimostrare quanto una o più linee rette fossero eguali ad una curva, affinchè suo malgrado imbattuto non si fosse nello scoglio dell’infinito, che volea studiosamente evitare: indicò solamente quanto un pezzo di curva fosse maggiore o minore di una o più rette, o pure quanto un pezzo di superficie concava fosse maggiore o minore di una o più superficie piane. Non è già, che una sì fatta maggioranza o minoranza non si vada ancor essa in ultimo a risolvere nell’infinito, ma la mente umana non ha tempo di ciò sospettare; perchè quella relazione di più o di meno le si presenta con tale chiarezza, che ne piglia a fastidio le prove. Archimede in fatti pose l’estremità delle rette sull’estremità del pezzo di una curva, e l’estremità delle superficie piane su quelle del pezzo di una concava, e quivi con gran senno ristandosi, più oltre non volle procedere10. Tutti allora videro quando queste linee o superficie erano le une dalle altre comprese, o le prime le seconde comprendeano, e tutti immantinente conobbero quando le une erano delle altre minori o maggiori. Gli stessi geometri de’ suoi dì, ch’erano severissimi, ne sdegnarono le prove, e venerarono come principj que’ rapporti di maggioranza o minoranza tra le linee curve e le rette, tra le superficie concave e le piane, che da Archimede erano stati posti, non dimostrati, come veri. Che se Eutocio intese ne’ tempi d’appresso a dimostrarli, costui in luogo d’accrescerne l’evidenza forse gli oscurò; perchè la verità al pari della bellezza vuole semplice e schietta mostrarsi per colpire: l’una colle prove si snerva, l’altra cogli ornamenti si guasta.

Coll’ajuto di questi principj, ch’erano semplici ed evidenti, s’aprì Archimede un novello sentiero, che ancora non era stato battuto da’ geometri prima di lui. Costoro iscrivendo a’ circoli i poligoni si erano accorti, che questi a quelli poteano sempre più avvicinarsi, ma non arrivarli giammai. Però teneano come principio, che i poligoni iscritti, non ostante qualunque approssimazione, eran sempre de’ circoli minori, e i circoli al contrario eran di quei poligoni certamente maggiori. E questo principio fu da tanto, che felicemente li guidò nella ricerca de’ rapporti, che han tra loro le superficie circolari e i corpi rotondi. Ma Archimede dovea assai più lontano progredire, perchè la misura, non già i soli rapporti investigava delle grandezze curvilinee. Pensò quindi di aggiungere all’iscrivere il circoscrivere, ed estese in tal modo alle figure circoscritte quella proprietà, che avean trovato i geometri tra i circoli ed i poligoni iscritti. Le figure iscritte e circoscritte, dicea egli, pari passo camminando, pari passo si avvicinavano alla figura curvilinea, che circondano, ma non la giungono mai: l’una, che è l’iscritta, per quanto più e più vi si approssima, resta della curvilinea invariabilmente minore, e l’altra, che è la circoscritta, per quanto più si avvicina, viene ad essere di quella medesima invariabilmente maggiore. Fu questa verità, che pose in alto Archimede come un segno, cui riguardare per non smarrirsi nell’oscuro e difficil sentiero della misura delle curve. Pigliava egli una grandezza rettilinea o pure una curvilinea, di cui si conoscea la misura, e la mettea in confronto colle due figure, iscritta e circoscritta alla curva, che era da misurare. Questo confronto, che era attento e severissimo, tutto si versava nell’esaminare, se queste due figure ivano sempre più a quella rettilinea avvicinandosi nella stessa ragione, che faceano intorno alla curva che circondavano, e se la figura rettilinea al par di questa curva restava sempre dell’iscritta maggiore, e della circoscritta minore. Che se, fatto ogni esame, eguali ritrovava questi rapporti delle due grandezze, rettilinea l’una, curvilinea l’altra, colle figure, iscritta e circoscritta, avea per certo, che quelle due grandezze fossero eguali, o meglio, che l’una, cioè la rettilinea, dell’altra curvilinea fosse l’esatta misura. La medesimità de’ rapporti colle figure medesime era allora segno per Archimede d’identità e di eguaglianza.

Questa maniera indiretta di ragionare, sebbene dubbia ed incerta allorquando si applica alle cose fisiche, è al contrario saldissima nelle ricerche matematiche, le quali misurano delle quantità, che si riferiscono tra loro pe’ semplici rapporti del più, del meno, o dell’eguaglianza. Se la grandezza rettilinea al par della curvilinea è sempre minore della circoscritta e dell’iscritta maggiore, certamente quelle due grandezze debbono essere eguali: perchè se la rettilinea ci piacesse supporre o minore o maggiore della curvilinea, ne seguirebbe, che la figura iscritta o circoscritta si potrebbe frammettere in mezzo a quelle due grandezze, e se la rettilinea risulterebbe contro ogni verità maggiore della circoscritta, o dell’iscritta minore. Ma in que’ tempi non era conceduto in geometria questa maniera d’induzione, ancorchè fosse chiara e ragionevole. Però Archimede conformandosi al rigore de’ tempi dimostrò non argomentò l’eguaglianza tra quelle due grandezze, dimostrando non argomentando, che l’una non potea essere dell’altra minore o maggiore. Così egli non dimostrava direttamente, che qulle due grandezze erano eguali, ma che non poteano non essere eguali, e senza presentare la loro eguaglianza forzava l’intelletto, come se veduto l’avesse, a confessarla.

Tale forma indiretta, sotto cui egli mostrava l’eguaglianza, non era nuova nella geometria. Questa intellettuale, come è, non isdegna i lunghi ragionamenti, e per qualunque sentiero, sia breve, sia lungo, va lieta a ritrovare la verità. Eudosso ed Euclide stretti al par di Archimede dalla necessità avevano già presentato sotto questo sembiante l’eguaglianza, ed Archimede nel dimostrare, che la grandezza rettilinea non potea essere minore della curvilinea, seguì la via già battuta da que’ due sommi geometri. Suppone da prima, come suol farsi, a cagion d’argomento, che la grandezza rettilinea fosse minore della curvilinea, e poi in mezzo a queste due frappose una terza grandezza, che è l’iscritta, la quale si può a senno del geometra avvicinar sempre più alla curva. Questa terza grandezza, trovandosi tra quelle due interposta, dell’una, che è la rettilinea, riesce in tal caso certamente più grande: ed ecco l’assurdo; poichè aveva egli già dimostrato la grandezza rettilinea essere maggiore della iscritta. L’iscrizione diveniva allora uno strumento, con cui egli facea la prima e velata riduzione di quelle due grandezze, l’una rettilinea, e l’altra curvilinea, all’eguaglianza; giacchè in un linguaggio più schietto, egli dicea, non poter l’una esser dell’altra minore, perchè l’una all’altra era in sostanza eguale.

A dimostrare poi, che la grandezza rettilinea non potea della curvilinea esser maggiore, trovò prontamente nella circoscrizione un ajuto, di cui non si erano serviti i geometri prima di lui, i quali si eran fermati all’iscrizione. A provare Euclide, che i circoli tra se, o le sfere, o i cilindri un rapporto non avevano maggiore di quello, che egli adduca, non recava innanzi un forma certa di dimostrare: ora per un artifizio, e ora per un altro, spesso per lunghi giri, e sempre con istento, giungea allo scopo, cui egli mirava11. Ma Archimede, che già all’iscrivere aveva aggiunto il circoscrivere, potè franco e sicuro fare la seconda riduzione all’eguaglianza; poichè supposta la grandezza rettilinea maggiore della curvilinea, tra questa e quella una terza grandezza interpone, che ben lo potea circoscrivendo, la quale stando intermedia alle prime due, dell’una, che è la rettilinea, certamente è minore: e qui giunto grida parimente all’assurdo; poichè avea già provato la figura circoscritta della rettilinea essere di sua natura maggiore. Con quella autorità allora, che a lui concedea la geometria, comandava all’intelletto a riconoscere tra quelle due grandezze l’eguaglianza; perchè non potendo essere l’una dell’altra nè minore nè maggiore, era di necessità, che l’una all’altra fosse stata senza contrasto eguale; o sia l’una dell’altra non potea essere nè minore nè maggiore, perchè in sostanza l’una all’altra era eguale.

È questo lo schizzo del metodo, con cui Archimede si pose in istato di affrontare le ricerche più astruse, e che indocili erano state sino a quel tempo al magistero di tutti i geometri. I principj, su cui poggia questo metodo, la forma del dimostrare, i primi lineamenti in somma già segnati nell’iscrizione, erano stati tutti posti e riconosciuti pria di Archimede: ma egli il primo comparò le curve alle rette, ampliò questo metodo, lo ridusse a grandezza, a forma generale, atto lo rese a stabilire la sublime geometria.

Nel misurare le curve non apprezzava, nè ponea tra loro in confronto che tre grandezze, delle quali la terza dovea essere invariabilmente maggiore dell’una, minore dell’altra; e queste grandezze eran tutte finite, tutte rettilinee. Si fermava così sul confine, che le grandezze rettilinee divide dalle curvilinee, e le quantità finite da quelle separa, che nell’infinito si perdono; e quivi stando lanciava ad un’ora da’ due punti opposti, ch’erano i due assurdi, una luce vivissima, che quasi baleno diradava le nebbie, in cui involta si sta ogni grandezza curvilinea. Era, egli è vero, questa luce istantanea, ma splendidissima; gli occhi forte colpiva, ma non li abbagliava; mostrava, non può negarsi, da lungi la misura degli spazj curvilinei, ma così chiara innanzi la parava, come se da vicino e fissamente si fosse riguardata e contemplata. Niuno dei geometri innanzi a lui fermo tenendo il piede tra le quantità finite era mai giunto ad apprezzare le grandezze curvilinee; fu Archimede il primo, che ne scoprì la scala e le misure, e fu da Siracusa, che e queste, e quella ricevette Alessandria regia allora e metropoli della geometria.

Ma questo metodo quanto studio, quanto ingegno non volea per mandarsi ad effetto! L’algebra, che in simboli trasforma i nostri raziocinj, dalle sue formole quasi traducendo va presto a raccogliere ogni verità particolare; ma la geometria sollecita di scorrere da prima ad una ad una le idee, e poi di forte incatenarle, non ostante il metodo, che la guida, è stretta quasi ad ogni passo a durar molto stento e molta fatica. Ogni problema, che dichiara, ed ogni teorema, che ritrova, merita gli onori dell’invenzione, perchè seco porta i travagli dell’inventare. Non si sa quindi, nè si può determinare, se debba più ammirarsi Archimede quando il metodo immagina, nobilita, aggrandisce, o quando il metodo adoprando specola, scopre, dimostra. Dovendo Archimede, secondo i dettami del nuovo metodo, comparare ad una grandezza altre due, delle quali l’una era iscritta, e l’altra circoscritta, fu prima sua cura scegliere tra le figure da iscrivere o circoscrivere le più semplici, perchè più facili a potersi estimare e riferire. Il poligono adatta al circolo, il prisma al cilindro, la piramide al cono, e il poliedro alla sfera. Volgendosi poi alle sferoidi e conoidi non isceglie che cilindri, e dalle conoidi passando alla spirale non d’altro fa uso, che di settori circolari. E queste figure oltre a ciò va egli sì destramente ordinando, e disponendo, che semplice e chiara risultar ne potea la loro stima ed il loro confronto. Era questo l’artifizio, con cui il nostro geometra si spianava la via, che conduce all’invenzione, artifizio comune a tutti i grandi uomini, che riducendo a semplicità, e ordinando i primi passi giungono a scoprire quelle verità, che agli occhi volgari d’ordinario si celano.

Nel circolo, nel cilindro, e nella sfera gli elementi della scienza corsero a lui d’innanzi per rivelargli il valore di quelle grandezze; ma nelle conoidi e nella spirale s’imbattè nel campo delle progressioni, che ingombro era di virgulti e di spine, in cui niuno erasi imbattuto prima di lui. Ma come il suo spirito cresceva di vigore, a misura che crescevano le difficoltà, così franco e libero cominciò a spaziarsi per serie e progressioni. Se mancasse altra prova, potrebbe chiunque restarne persuaso, il modo riguardando, con cui accrebbe la notazione aritmetica de’ Greci, ch’era misera allora, e molto limitata.

Si agitava in quel tempo una quistione sul numero de’ granelli di sabbia, che sparsi si trovano sopra tutta la terra. Pensavano taluni essere un tal numero infinito. Erano altri d’avviso non potersi, ancorchè finito, esprimere in cifre; giacchè la greca notazione non giungea allora che ai soli centomilioni. Archimede, che solea concedere al suo spirito, che era matematico, ricreazioni del pari matematiche, prese parte a quella controversia, e scrivendo il suo Arenario lo indirizzò al giovane Gelone; giacchè la Corte di Siracusa era in que’ dì colta e gentile, e careggiava le arti e le scienze.

Come se quel numero di grani di sabbia fosse stato piccolo per la sua mente, lo aggrandisce oltre misura, e va quel numero cercandone, che capir potea in una sfera, quale è quella del mondo o delle stelle. Allargò così il problema, e questo allargato, immaginò a scioglierlo un sistema, in cui le unità, come avviene nel nostro, van progredendo in una decupla ragione. Il limite, in cui finiva la greca notazione, fu allora principio della novella, perchè le sue unità furono i centomilioni, e le cifre, che questi esprimeano, divennero il primo termine di una progressione, che di mano in mano iva dieci volte crescendo. Cominciò a camminare luogo questa progressione, e riscontrò non molto lontano il numero de’ granelli di sabbia, che andava ricercando. Sciolse quindi il problema, ed insieme ampliò la greca numerazione, soddisfece alla fantasia, che si lanciava ne’ suoi voli al di là delle cifre aritmetiche, e fondò un sistema novello, che Apollonio ne’ tempi d’appresso rese più facile a praticarsi, perchè lo ridusse a maggior semplicità. Ma come il suo spirito rapido e impaziente sdegnava la noja di procedere di termine in termine per la novella progressione, immaginò un artifizio, con cui a suo senno lanciar si potesse da questo a quel termine, saltando gl’intermedj. Nè prima a ciò si rivolse, che immaginò tosto due lemmi, col cui ajuto di lancio e sicuro esprimer potea un termine qualunque della sua progressione12. Erano, egli è vero, que’ lemmi di semplice specolazione, ma di tal pregio, che richiamati furono alla luce, allorchè da’ moderni fu immaginata a pro delle scienze e dei calcoli la bella e utilissima invenzione de’ logaritmi.

Uso adunque Archimede a spaziare tra serie non è da maravigliare, se in somma raccolse tutte le progressioni, che nelle sferoidi e nella spirale si presentarono. Le progressioni, che eran da porsi in confronto, eran tre, e con sì fatto ordine disposte, che mostravano quasi la sembianza medesima. Una progressione aritmetica, la cui differenza era eguale al termine più piccolo, rappresentava la figura circoscritta; la medesima progressione scema del termine più grande esprimeva la iscritta, e la terza avea ciascun termine eguale al più grande della prima; ma questa terza o tutta o parte esprimea la figura, che misurava la grandezza curvilinea. A queste tre progressioni corrispondeano tre somme, l’una delle quali dovea invariabilmente risultare maggiore di quella, che figurava la grandezza iscritta, e minore dell’altra, che rappresentava la circoscritta. Si potea accrescere ad arbitrio il numero de’ termini di queste progressioni; ma il loro rapporto sempre si manteneva costante, perchè pari passo quelle camminando, lasciavano inalterabile tra le loro somme il rapporto di maggioranza o di minoranza, nel quale il pregio e la sodezza posava del suo ragionare. Questo è l’andamento di Archimede nelle sferoidi, e nelle conoidi, e nella spirale, e così procedendo mostra tutta e chiarissima l’immagine del suo metodo, e ne fa ravvisare la generalità.

Ma queste progressioni non aveano la medesima forma; anzi diverse venivano a risultare, come diverse erano le figure, che misurar si doveano. Nelle conoidi i loro termini rappresentavano cilindri d’altezza eguale, ch’erano proporzionali ai quadrati de’ diametri delle loro basi. E come sì fatti diametri erano nello stesso tempo le ordinate alla curva, che avea generato le conoidi, così aveano un valore diverso, come diversa era la curva generatrice. Nella parabola i quadrati delle ordinate sono come le ascisse corrispondenti, che van successivamente della medesima quantità decrescendo; e però nella paraboloide s’imbattè Archimede in una aritmetica progressione. Non così avvenne nella iperbola e nell’ellisse: come nella prima i quadrati delle ordinate sono nella ragione de’ rettangoli delle ascisse misurate dai due centri delle iperbole opposte; così ebbe il nostro geometra una serie, i cui termini sono formati da un rettangolo e da un quadrato, o sia una serie, che oggi chiamasi di terzo ordine13. Nella seconda poi gli si recarono innanzi i quadrati di un’aritmetica progressione, perchè nella ellisse i quadrati delle ordinate sono come la differenza de’ quadrati del semiasse maggiore e dell’ascissa corrispondente presa dal centro14. E finalmente un’altra progressione a quella eguale della ellissoide ei rinvenne nella spirale, in cui le figure iscritta e circoscritta sono settori simili di cerchi, i raggi de’ quali van decrescendo in una progressione aritmetica. Somma adunque di progressione geometrica, e di progressione aritmetica, somma de’ quadrati d’una progressione aritmetica, somma de’ termini d’una serie di terzo ordine, furono ad Archimede necessarie alla misura delle grandezze curvilinee, e queste somme, ancorchè impacciate fossero tra linee e figure, tutte egualmente e con egual destrezza egli raccolse colla sola virtù di sua mente e dei principj d’Euclide: anzi altre di più ne avrebbe in somma ridotto, se in altre si fosse imbattuto nel giungere al suo scopo, giacchè il sommar delle serie era mezzo, e non oggetto delle sue ricerche. Niuno degli antichi ebbe il coraggio di seguirlo in questa nobile carriera; furono i moderni che si occuparono di serie, e fu così che Archimede, lasciati gli antichi, si venne a collocare tra i nostri algebristi, i quali pieni di venerazione cessero a lui il primo posto d’onore, e lieti seguirono le sue onorate vestigia. Archimede, dicea Barrow parlando delle progressioni, fu il primo, che schiuse la sorgente, da cui hanno preso origine più e più fiumi, che son venuti ad irrigare i campi ubertosi delle matematiche15.

Nè dovrà recarci maraviglia, ch’ei non abbia in somma raccolto delle serie infinite. I moderni sono rifuggiti a tali serie per supplire colla somma di queste o approssimante o esatta all’imperfezione, che seco naturalmente porta il calcolo integrale; ma il nostro geometra non confuse mai le rette colle curve, nè mai recò innanzi quantità o figure, che aumenti o decrementi avevano infinitamente piccoli, o di un numero infinito. Queste idee e queste parole erano allora profane, e sarebbero state proscritte come ingiuriose alla geometria. Era solamente suo scopo mostrare, che la somma della progressione, la quale esprimea la figura rettilinea, era di quella maggiore, che rappresentava la figura iscritta, e dell’altra, minore, che rappresentava la circoscritta, nè curavasi d’altro. Un sì fatto rapporto di maggioranza o minoranza era il segno indubitato per lui, che la figura rettilinea si potea sostituire alla curvilinea, che l’una dell’altra era misura, che l’una all’altra era in sostanza eguale. Nel rapporto quindi delle somme, e non già nel numero finito o indefinito de’ termini di ciascuna progressione tutta dimorava la virtù del suo ragionare. Per lo che, se non strinse egli in somma delle serie infinite, non fu per difetto di mezzi, o povertà d’ingegno; ma perchè la geometria di que’ tempi lo sdegnava, perchè il suo metodo non lo pativa. Nel quadrare in fatti la parabola, ove s’avvenne Archimede in una serie infinita, corse egli presto a sommarla, ma ne occultò col più maraviglioso artifizio l’idea dell’infinito. Sia, diceva egli, il numero de’ termini quale che vi piaccia, se a questo numero aggiungete il terzo dell’ultimo, la somma di tutti i termini sarà sempre quattro terzi del primo. Così scorreva Archimede tra linee e figure geometriche in mezzo a progressioni, ne coglieva la somma, e si aggirava ad ogni passo intorno all’infinito, e sempre l’evitava come avveduto auriga ne’ tempi antichi solea scansare la meta.

È questa la ragione, per cui le sue dimostrazioni, che sono sempre sode, allo spesso riescono lunghe. Per evitare ogni inesattezza e conformarsi al rigor geometrico fu costretto nel mostrare l’eguaglianza tra le figure curvilinee e le rettilinee a scegliere un metodo indiretto, e come tale più stentato e men breve; per lo che pochi tra i geometri, e i soli non bene esperti ne’ metodi degli antichi han tenuto le dimostrazioni di Archimede per oscure e complicate, e pochissimi i profani, che hanno osato calunniarle di paralogismo16. Ma i più valorosi sanno, che la via impresa da lui non potea non esser lunga, e confessano, che i passi dati nel suo dimostrare, sebbene molti, sono tanti, quanti erano necessarj ad arrivar con sodezza e senza alcun contrasto alle gran verità. Però ammirano la sagacità e la forza insieme del suo pensiero nel conformare le sue dimostrazioni, come volea la natura del soggetto, la novità dell’impresa, la condizione de’ tempi, e lo stato della greca geometria.

Dopo tanti travagli, o meglio, dopo tante scoverte potè in fine Archimede stabilire la misura delle grandezze curvilinee. Non solamente quadrò la parabola, ma si recò da vicino, e quanto più seppe, alla quadratura del circolo e dell’ellisse. Discoprì oltre a ciò le proprietà della spirale e delle conoidi, misurò le zone sferiche, e determinò il bel rapporto, che lega sfera, cono, e cilindro. Così tutto solo e colla sola guida degli elementi fondò la sublime geometria, ne accrebbe la dignità, e la condusse a grandezza.

Avendo Archimede depositato tante gran verità ne’ suoi libri, in cui gran parte del metodo, i mezzi del dimostrare, la misura delle curve, ogni problema, ogni teorema è un’invenzione anzi un gruppo d’invenzioni, è stato egli il maestro di tutte l’età, e la scorta di tutti i geometri. Alla sua scuola si addottrinarono gli antichi, ed i suoi libri sono stati la palestra, in cui al rifiorir delle scienze sudarono e si esercitarono gli atleti, che han riportato nelle matematiche e premj e corone; nè altri mai in alcun tempo, se educato non sarà nella disciplina di questo Licurgo, potrà acquistare quella gagliardìa di mente necessaria a sostenere il travaglio, che seco portano le nobili e severe scienze. De’ suoi libri difatto hanno attinto i moderni quelle speculazioni e quei metodi, di cui va lieta e si onora la nostra età. Keplero ingegno ardito ed altissimo collo stesso coraggio, con cui distrusse l’edifizio della greca astronomia, ci svelò il primo l’idea e il nome d’infinito formando un circolo d’infiniti triangoli e un cono d’infinite piramidi. Cavaleri profittò del suo avviso, e sotto la forma degl’indivisibili diede il primo a vedere l’infinito, che nascoso giacea sotto opportuni velami ne’ libri del nostro Archimede. Sursero poi le flussioni, e gl’infinitamente piccoli, che al par degl’indivisibili altro non sono che i piccoli solidi di Archimede iscritti e circoscritti a tal picciolezza condotti, che non sono più degni di stima. S’immaginò il metodo de’ limiti, ed altro non si fece che tradurre Archimede. Ar- chimede in somma hanno i moderni mostrato sotto varie sembianze, e con linguaggio diverso, e ad Archimede sono eziandio rifuggiti per autorizzare i loro metodi e rendergli accettevoli.

Allorchè apparvero i nuovi calcoli e i metodi de’ moderni si gridò da ogni parte contro l’oscurità de’ loro principj, e l’inesattezza del loro linguaggio; anzi fu comune opinione tra quei, che erano avvezzi al rigor degli antichi, che venissero meno le matematiche venendo meno la loro chiarezza natìa. Tentavano, egli è vero, i più sublimi algebristi di diradare le nebbie, in cui inviluppati si stavano i loro metodi; ma gl’ingegni erano sempre indocili, e liti e contrasti si mossero nella pacifica geometria; per lo che altro scampo non ebbero i fabri de’ nuovi calcoli, che rifuggire ad Archimede. Quando l’esercito greco correa alla sommossa, e i Diomedi e gli Atridi veniano tra loro a contesa, era il senno di Nestore, che sedava i tumulti e componea le discordie. Si misero quegl’inventori, non senza grande accorgimento, a dimostrare co’ loro ingegni, ch’eran facili e spediti, quelle stesse verità, che il geometra di Siracusa, era gran tempo, avea già scoverto e dimostrato. L’uniformità delle cose trovate fu allora segno della sodezza de’ loro calcoli, e la facilità nell’arrivarle, indizio della loro utilità. Rassicurati così gli spiriti dall’autorità di Archimede divennero men ritrosi a’ metodi novelli, e intervenendo il nostro geometra non altrimenti che mallevadore autorizzò le invenzioni degli stessi moderni. È stato, egli è vero, l’onor dell’Italia il sommo La Grangia, che ha condotto non ha guari a gran luce i principj de’ moderni riducendo il calcolo sublime, proscritte le differenziali, ad algebra di variabili e finite quantità; ma fu per mezzo di Archimede, che durante l’oscurità di quei principj, si vinse la ripugnanza degl’ingegni, e si facilitò la propagazione de’ nuovi calcoli.

Dotato adunque, come egli era, di altissimo intendimento, presto nell’inventare, severo nel dimostrare avanzò colle sue scoverte la scienza, e gran vantaggio ha recato alla posterità. Ha egli da più, e più secoli educato gl’ingegni, incoraggiato i timidi, mostrato a tutti le vie da imprendere e le nuove regioni da scoprire, sostenuto i primi e difficili passi de’ geometri, e indicato a tutte le nazioni il sacro alloro, le cui frondi, come han cinto la sua fronte, debbono quella onorare de’ grandi uomini. Non si possono ricordare i nomi di Fermat e Roberval, di Maurolico e Cavaleri, di Wallis e Barrow, non si può ricordare lo stesso Newton senza fare insieme onorata menzione di Archimede, che tutti gli educò, e quasi gli scorse per mano nel difficile e spinoso cammino delle matematiche. Ne pigli vanto la Sicilia, che lo produsse, giacchè i soli grandi uomini e le loro virtù tornar possono a gloria delle nazioni. Ma così piacesse a Dio, che come ella ne piglia il debito vanto potesse esser madre feconda di nuovi allievi, che avessero il coraggio di emularne il senno geometrico e gli onori, che lo coronano.

Severo e ingegnosissimo fu il metodo immaginato da Archimede per la misura delle curve, ma non è da credere, ch’egli lo abbia adoprato nell’inventare, siccome fece nell’esporre e dimostrare le sue scoverte bellissime: molte proposizioni s’incontrano ne’ suoi libri, e una in particolare ve n’ha nell’equilibrio de’ piani17, che chiaro ci annunziano essere state da lui ritrovate per modi non allora in uso tra i geometri, e quindi nelle forme consuete ordinate e disposte. Nè molta fatica è da sostenere leggendo Archimede per trovare nelle sue dimostrazioni ora una via ed ora un’altra, con cui riggettate alcune piccole differenze senza la lunga serie de’ suoi ragionamenti, giunger si possa alla verità de’ suoi teoremi. La sua mente oltre a ciò era stata già avvertita nel sommar la progressione, con cui misurò la parabola, che senza andare errato trascurar si poteano alcune piccole quantità. Non è quindi fuor di ogni verosomiglianza il credere, che Archimede men severo inventando che non era dimostrando le cose inventate, fosse tant’oltre progredito iscrivendo, che confuso abbia le figure rettilinee con quelle, che da curva si chiudono. Ma procedendo così arditamente non facea che congetturare, e schizzare, dirò così, nel suo gabinetto le scoverte; il suo spirito poi non mai si acquetava, e in continua sollecitudine era inviluppato sinchè non avesse nella solita forma assodato le cose, che avea abbozzato e veduto colle congetture. Ripigliava allora la più scrupolosa severità, non altro riguardava che i principj della scienza, nè mai si ristava, se prima ogni cosa non avesse con sodezza dimostrato. I teoremi sulle sferoidi, scrivea egli a Dositeo, han tenuto il mio animo per lungo tempo dubbio ed incerto, giacchè dopo di averli esaminato più volte mi parea, che contro i medesimi nuove insorgevano e non poche difficoltà; ma avendoli quindi più attentamente considerato son giunto in fine a trovare quei chiarimenti, che mi erano da prima fuggiti.18 In questa guisa dava egli a vedere, che due erano i suoi metodi, e due le fatiche del suo ingegno nello specolare, l’una inventando e l’altra dimostrando; vogliono queste due maniere di fatica un ingegno, che ora franco ed ardito nell’invenzione si lancia, ed ora cauto e severo nel dimostrare procede, e questa doppia sembianza del pensiero di Archimede chiara a tutti si mostra ne’ libri di lui.

Prepara egli da prima, e con diligenza dispone quelle verità, che vanno di mano in mano stabilendo un teorema principale; ma, queste posate, corre sollecito a trame nuove e recondite illazioni. Cammina da principio a piccioli passi, e cauto e paziente ordisce, incatena, compone, perchè nella evidenza e semplicità delle prime idee la forza è riposta e la sodezza del ragionare; si slancia di poi a gran passi, e libero e sicuro cerca, svolge, disvela le più belle verità, perchè allora in più un sol teorema trasforma, e ragionare in certo modo altro non è che tradurre. Si vede in fine ora un fiume, che lentamente s’ingrossa, ed ora un torrente, che ingrossato velocemente discorre; ma sia che Archimede svolga o componga, spesso adopera la sintesi, talora l’analisi, non mai si allontana dal rigor matematico, e sempre trionfa, perchè sempre discopre.

Nel libro della sfera e del cilindro era suo scopo coglier le misure della superficie e solidità d’una parte, o di tutta la sfera; ma prima guida per mano i geometri, e va loro più e più proposizioni mostrando, alcune delle quali sono grandi in se stesse, ciascuna prepara la via a quella misura, e tutte insieme l’assodano e fiancheggiano. La mente di chi legge va così spiando tutto il cammino, prevede quella misura prima di vederla, e si lusinga di trovarla mentre Archimede gliela presenta e dimostra.

Misurata la sfera, i più utili problemi dichiara, che da quella misura dipendono. Dati due pezzi di una sfera, un terzo ne ritrova, che ad uno di quei due sia simile, ed all’altro eguale nella solidità, come nella superficie; ed ora ad una sfera fa eguale un cono o un cilindro, ed ora i segmenti in tal modo ne taglia, che abbiano questi una proposta o misurata ragione ad un cono o ad un cilindro della medesima base ed altezza. Ritrova in somma, e interpetra nuovi ed ardui problemi a questi adattando, e in modo convenevole trasformando quella misura della sfera, che già aveva estimato e conosciuto, perchè da questa, com’egli dice scrivendo a Dositeo, viene e procede la più parte di quelli problemi19.

È cosa maravigliosa a vedersi come ei ne’ più difficili e spinosi problemi lieto si avanza quando coll’analisi, quando colla sintesi. Per le vie ingegnose dell’analisi taglia una sfera in due porzioni, le di cui superficie sieno tra loro in qual ragione che si voglia. Per le vie laboriose della sintesi colloca e incastra tutti i rapporti, che possono avere tra loro le solidità di due pezzi ineguali di unica sfera in mezzo a due confini, che sono due potenze o funzioni delle superficie di que’ pezzi medesimi. Nè lascia di mostrare, che tra due pezzi sferici il massimo in solidità sia l’emisfero, o pure quello, che a questo più si avvicina. Vince in somma colla sintesi que’ problemi, che vincere oggi non senza stento si possono coll’ajuto dell’algebra, e de’ massimi, e de’ minimi.

E giacchè parlando di Archimede non si può fare a meno di ammirare le forze della sintesi, sarebbe oramai da desiderare,che i docili ingegni de’ giovani fossero prima d’ogni altro esercitati nella geometria degli antichi. Darebbe questa una maravigliosa tempra a’ loro teneri intendimenti, affinerebbe il loro intelletto, e facendoli più gagliardi e robusti, atti li renderebbe alla carriera delle severe scienze. Gli atleti non si educano nelle mollezze di Sibari e di Capua, ma nelle fatiche del Circo e dello Stadio. L’esercizio più opportuno alle menti de’ giovani è certamente la sintesi, che le guida con ordine mirabile, rinvigorisce le loro forze, e mostra tra lo splendor dell’evidenza l’aspetto giocondissimo delle più utili verità. Per buona fortuna l’Italia, che è ricca di allori per li suoi travagli nell’algebra, non ha mai posto in oblìo la geometria degli antichi, e pare, che già si corregga il gusto tornandosi agli antichi geometri anco presso quelle nazioni, che, vestendo la geometria di formole e di equazioni, la spogliarono de’ suoi naturali ornamenti, evidenza, e sodezza. Già sono stati pubblicati e tradotti i più famosi tra gli antichi geometri, e già vi ha chi emulando Euclide ha richiamato la geometria all’antica severità. Che se alcuno stimerà questi voti inutili per avventura o esagerati, è da ricordare, che sono quegli appunto, che eccita ed ispira il grande Archimede, il quale non pago delle sue speculazioni sulla sfera e sul cilindro spicca ancor colla sintesi più alto il volo trattando della spirale.

Volgendosi Archimede a questa curva, che porta il suo nome, perchè il primo l’illustrò, ei s’immerse ad un tratto nelle più profonde ricerche: eguaglia una linea retta, che è la suttangente ad un arco, ad una o più circonferenze d’un cerchio; comparando oltre a ciò gli spazj, che sono chiusi tra le spire in aree circolari, tra queste e quelli trova ed insegna costanti i rapporti: mette in fine in confronto gli spazj interposti tra le spire, che in bello ordine si succedono, e scopre, che tutti, eccetto il primo, van pari passo crescendo, e alla legge obbedendo della serie de’ numeri naturali. Ma nello investigare queste ed altre simili verità va prima a passi lenti stabilendo i particolari teoremi, e poi in alto levandosi questi presenta sotto una forma più elegante e generale. Eran questi sentieri allora ignoti, e sono anche al presente spinosi per noi, ed egli là si avanzava colla sintesi, dove oggi non hanno il coraggio d’inoltrarsi i moderni senza la guida del calcolo sublime. Che più? fu egli il primo, che vinse il problema allora famoso della quadratura del cerchio, il quale non era stato mai vinto da geometrico artifizio. Frammettendo la circonferenza del circolo tra due poligoni, l’uno iscritto e l’altro circoscritto, il valore ne trasse in parti del diametro per via dell’approssimazione, che suol essere il felice supplemento a’ nostri metodi, e talora alla scienza medesima. Conosciuto questo valore, si provvide a’ bisogni delle arti e della società; divennero all’istante utili i rapporti, che prima di lui aveano ritrovato i geometri tra i circoli e i corpi rotondi; si ebbe l’unità di misura, con cui estimare le curve e i solidi curvilinei, o la sfera e le sferoidi, il cono e il cilindro: e partendosi in somma di là, ove i suoi antecessori si erano fermati, si avanzò più oltre, e costruì il maestoso ed immortale edifizio della sublime geometria.

Nè è da passare sotto silenzio, che fu così tenace nel fondar, come aveasi proposto, questa grand’opera su’ primi elementi della scienza, che trascurò di chiarire que’ problemi, che scioglier non potea colla riga, e il compasso, perchè l’ajuto cercavano insieme del circolo, o d’altra curva delle coniche. Ogni volta di fatto, che s’imbatte in simili problemi, che oggi chiamano di terzo grado, si contenta di accennarne con alcuni teoremi la soluzione, o di ridurli a trovare due medie proporzionali, nè passa più oltre: ma per condurre, come fece, a perfezione quest’alto suo pensamento quale dovea essere la gagliardìa del suo ingegno, e quale il suo sentimento nelle cose geometriche? La geometria ove s’inalza alla considerazion delle curve è costretta ad ordire lunghi e non interrotti ragionamenti per trovare quelle verità, che di loro natura sono astruse e lontane; però l’intelletto dell’uomo può a stento incatenare tante idee, multiplici di numero, e varie ne’ loro rapporti, e legandole si fatica, vien meno, non di rado s’annoja, e spesso nel cammino si arresta. Ciò nondimeno riuscì Archimede in sì alta impresa, e nel drizzare i suoi ragionamenti così forte li lega, e fil filo connette, che giungono talvolta a travagliare ancora noi, che già belli e spianati li leggiamo ne’ suoi scritti. È questo uno de’ punti di vista, sotto cui Archimede una mente dà a vedere così destra e robusta, che par voglia oltrepassare i confini d’ordinario prescritti all’umano intelletto.

L’unica arma, che potea a lui porgere la geometria, era quella delle proporzioni, che sulla somiglianza si fondano delle figure. Quest’arma egli impugna, e di questa munito affronta e vince tutti gli ostacoli, che senza posa nel suo cammino rincontra. La sua mente ristretta in sì fatti confini pare che acquistato avesse un vigore novello per la felice combinazione con cui le intreccia, e per la destrezza, con cui le dispone. In mille guise diverse inverte e converte, somma e sottrae, alterna e permuta tutte le ragioni. Queste dispone in più ordini, ed ora i rapporti cerca quando delle loro somme, e quando de’ loro prodotti, ed ora i rapporti rintraccia di que’ termini, che in varj modi e in varj luoghi fra lor si rispondono: e sempre in ciò fare si mostra così destro e vigoroso, che talora riesce per vie inaspettate al suo scopo, spesso ci fa desiderare un riposo in seguirlo, e sempre maraviglia e venerazione si attira. Le proporzioni in somma erano tanti fili, ch’egli a suo senno intrecciava, e de’ quali la gran tela ordiva delle sue dimostrazioni. Barrow non sapendo immaginare, che ingegno mortale avesse potuto a tanto giungere colla virtù del ragionare, è venuto in opinione, che Archimede fosse stato ajutato dall’algebra, che segretamente conoscea, e studiosamente occultava20. Tanta è la fatica, tanta è l’intensità del pensiero, l’assiduità dell’attenzione, che dovea durare Archimede col suo intelletto nell’inventare e nel dimostrare le cose discoverte da lui.

Ma senza rifuggire ad ipotesi, che prive sembrano di verosimiglianza e di ragione, è da credere essere state le cose geometriche così familiari al suo spirito, come son pronte a chiunque le parole del linguaggio natìo nel conversare. I suoi occhi trasformavano le cose, ch’esistono, in esseri matematici; la sua immaginazione non tracciava che linee e figure; il suo intelletto, non rivolgea che teoremi geometrici; il suo mondo in somma era tutto matematico. Per lo che la sua mente rivolta in sè stessa, esercitata nelle vie dell’intelletto, versata nelle verità geometriche, di queste e non d’altro prendea senso e diletto: di che venía, ch’egli talora non s’intrattenea delle cose di fuori, e ponea, come vuole Plutarco, non di rado in dimenticanza i bisogni eziandio della vita21. Rideranno forse alcuni nel sentire, che Archimede non curava talora di ungere il suo corpo, o che nell’atto che lo ungea per conforto di sua fantasia segnava linee e figure sul suo corpo medesimo. Ma ciò non dee recar maraviglia a chiunque sa, che la mente nostra quanto più si raccoglie in se stessa, tanto più si aliena da’ sensi. Coloro, che occupati sono in qualche pensiero più e più volte, e non di rado per inezie, divengono astratti dagli uomini, non veggono, non sentono. Archimede adunque, che contemplava altissime cose, e preso era dalla dolcezza di queste; quanto più si stendea nel pensiero, tanto meno si affaccendava alla cura del corpo. Così e non altrimenti possono gli scienziati dalla terra inalzarsi, pigliare le vie sublimi del cielo, le fame eterne acquistare. Era di fatto l’avidità del sapere, e l’ardore della gloria, che reggea le sue forze, aguzzava il suo intelletto, sostenea la sua attenzione. Nè i suoi desiderj andarono falliti: nome e fama chiarissima ebbe allora presso di tutti, e la posterità, che non suole ingannarsi nella stima degli uomini, che già furono, lo riguarda come chi tra gli antichi, oltre di ogni altro geometra, fu presto e copioso nell’inventare. Sono, egli è vero, famosi i nomi di Euclide e di Apollonio, che ambidue tra’ greci alto salirono nelle cose geometriche; ma costoro, sebbene avessero accresciuto la scienza colle proprie speculazioni, pure intenti furono a mettere insieme quelle verità, ch’eran conosciute, e quà e là si trovavan disperse: mostrarono ambidue, in ciò fare, singolare intendimento e perizia delle cose matematiche, e profitto recarono inestimabile agl’ingegni ed alla posterità. Ma occupandosi in parte delle altrui scoverte perdettero un tempo nel ricalcare le vie già calcate da’ loro predecessori. Archimede fu il solo, che sdegnò di trattare le cose già trattate, e di là partendosi, dove gli altri si erano ristati, non pensava che ad inventare, e sempre per vie nuove, ardue, spinose verso l’invenzione lanciavasi. Che se alcuno si mostrerà ritroso a concedere tale superiorità al nostro geometra sopra Euclide ed Apollonio, potrà almeno reputare questi tre prestantissimi geometri come i triumviri, che alla repubblica matematica prescriveano leggi e divieti; ma non potrà certamente negare, che Archimede più avanti inoltrandosi, che Euclide ed Apollonio non fecero, nelle miste discipline, l’uno e l’altro abbia lasciato dietro di se, e solo abbia strappato la palma promessa a colui che più scopre e travaglia a pro delle scienze e della società.

Siracusa a parte d’un ottimo principe, che ne reggea con saviezza l’impero, era lieta di un altro dono del Cielo, del grande Archimede, che cooperava coll’ ingegno alla gloria e felicità della patria. Traendo ella, come stato marittimo, potenza e dovizia non tanto dalle città, cui dominava, ch’erano assai poche, quanto dalle navi e dal commercio, pensò il nostro geometra di volgere la sua mente a quegli studj, che dirigono le mani dell’artefice nel trattare le macchine, nel costruire le navi, nel migliorare le arti. Prese di fatto a speculare sulle meccaniche, e come le venne contemplando, le tolse dalla rozzezza, in cui esse giaceano, e le condusse a stato e dignità di scienza.