IV. De aritmetica.
1.
Scriptores saecularium litterarum inter disciplinas mathematicas primam omnium
arithmeticam esse voluerunt, propterea quoniam musica et geometria et
astronomia, quae sequuntur, indigent arithmeticam ut virtutes suas valeant
explicare. verbi gratia, simplum ad duplum, quod habet musica, indiget
arithmeticam; <geometria vero quod habet trigonum, quadriangulum, vel his
similia, idem indiget arithmeticam;> astronomia etiam quod habet in motu
siderum numeros punctorum, indiget arithmeticam; arithmetica vero ut sit, neque
musica neque geometria neque astronomia egere cognoscitur. propterea his fons
et mater arithmetica reperitur, quam disciplinam Pythagoras sic laudasse
monstratur, ut omnia sub numero et mensura a Deo creata fuisse memoraret,
dicens alia in motu, alia in statu ita esse formata, ut tamen nulla eorum
praeter ista quae dicta sunt substantiam percepissent; credo, trahens hoc initium,
ut multi philosophorum fecerunt, ab illa sententia prophetali, quae dicit:
omnia Deum mensura, numero et pondere disposuisse.
2.
Haec itaque consistit ex quantitate discreta, quae parit genera numerorum nullo
sibi communi termino sociata. v enim ad x, vi ad iiii, vii ad iii per nullum
communem terminum alterutra sibi societate nectuntur. arithmetica vero dicitur
eo quod numeris praeest. numerus autem est ex monadibus multitudo composita, ut
iii v x xx et cetera. intentio arithmeticae est docere nos naturam abstracti
numeri et quae ei accidunt; ut, verbi gratia, parilitas, imparilitas et cetera.
3.
Numerus autem dividitur
in paribus:
pariter par
pariter impar
impariter par
et imparibus:
primum et simplicem
secundum et compositum
tertium mediocrem qui
quodammodo
primus et
incompositus,
alio vero
modo
secundus et compositus
par numerus est qui in
duabus partibus aequalibus dividi potest ut ii iiii vi viii x et reliqui. impar
numerus est qui in duabus partibus aequalibus dividi nullatenus potest, ut iii
v vii viiii xi et reliqui. pariter par numerus est cuius divisio in
duabus aequalibus partibus fieri potest usque ad monada, <ut> verbi
gratia lxiiii dividuntur in xxxii, xxxii in xvi, xvi in viii, viii in iiii,
iiii in ii, ii vero in i et i. pariter impar numerus est qui similiter
solummodo in duabus partibus dividi potest aequalibus, ut <x in v,> xiiii
in vii, xviii in viiii et his similia. impariter par numerus est qui
plures divisiones secundum aequalitatem partium recipere potest, non tamen ut
usque ad assem perveniat; ut verbi gratia xxiiii in bis xii, xii in bis vi, vi
vero in bis iii, et amplius non procedit. primus de imparibus et simplex
numerus est qui monadicam mensuram solam recipere potest, ut verbi gratia iii.
v. vii. xi. <xiii.> xvii et his similia. secundus et compositus
numerus est qui non solum monadicam mensuram, sed et arithmeticam recipere
potest, ut verbi gratia viiii. xv. xxi et his similia. mediocris numerus
est qui quodammodo simplex <et> incompositus esse videtur, alio vero modo
secundus et compositus, ut verbi gratia viiii ad xv dum comparatus fuerit,
primus est et incompositus, quia non habet communem numerum nisi solum
monadicum; ad xv vero si comparatus fuerit, secundus est et compositus, quoniam
inest illi communis numerus praeter monadicum, id est trinarius numerus, qui
novem mensurat ter terni et xv ter quini.
4.
Altera divisio de paribus et imparibus:
<Numerus>
aut par est
aut impar
aut
superfluus
aut
indigens
aut
perfectus
superfluus numerus est qui descendit de paribus. is, dum par sit,
superfluas partes quantitatis suae habere videtur; ut xii habent medietatem vi,
sexta pars ii, quarta pars iii, tertia pars iiii et duodecima pars i, qui omnes
summatim fiunt xvi. indigens numerus est qui et ipse de paribus
descendit. is quantitatis suae summam partium inferiorem habet; ut viii, cuius
medietas iiii, quarta pars ii, octava pars i, quae simul congregatae partes
fiunt vii. perfectus numerus est qui tamen et ipse de paribus descendit.
is, dum par sit, omnes partes suas simul assumptas aequales habet; ut vi, cuius
medietas iii, tertia pars ii, sexta pars i, quae assumptae partes faciunt ipsum
senarium numerum.
5.
Tertia divisio totius numeri:
Omnis numerus
aut secundum se consideratur
aut ad aliquid
alii sunt aequales
alii inaequales
alii
sunt maiores
alii
sunt minores
multiplices
superparticulares
superpartientes
multiplices
superparticulares
multiplices
superpartientes
submultiplices
subsuperparticulares
subsuperpartientes
submultiplices
superparticulares
submultiplices
superpartientes
per se numerus est qui sine relatione aliqua dicitur, ut iii. iiii. v vi
et ceteri similes. ad aliquid numerus est qui relative ad alios
comparatur, ut verbi gratia iiii ad ii dum comparatus fuerit, duplex dicitur et
multiplex, vi ad iii, viii ad iiii, x ad v; et iterum iii ad i triplex, vi ad
ii, viiii ad iii et ceteri. aequales numeri dicuntur qui secundum quantitatem aequales
sunt, ut verbi gratia ii ad ii, iii ad iii, x ad x, c ad c et ceteri. inaequales
numeri sunt qui ad invicem comparati inaequalitatem demonstrant, ut iii ad
ii, iiii ad iii, v ad iiii, x ad vi; et universaliter maior minori aut minor
maiori huiusmodi dum comparatus fuerit, inaequalis dicitur. <minor
numerus est qui vel replicatione minuitur aut ratione membrorum aut
partium> maior numerus est qui habet in se illum minorem numerum, ad
quem comparatur, et aliquid plus, ut verbi gratia quinarius numerus trinario
numero fortior est, eo quod habeat quinarius numerus in se trinarium numerum et
alias partes eius duas; et reliqui tales. multiplex numerus est qui
habet in se minorem numerum bis aut ter aut quater aut multipliciter, ut verbi
gratia ii ad unum dum comparati fuerint, duplex est; iii ad i triplex, iiii
quadruplex et reliqui. e contra submultiplex numerus est qui intra
multiplicem continetur bis aut ter aut quater aut multipliciter, ut verbi
gratia unus a duobus bis continetur, a tribus ter, a iiii quater, a v
quinquies, et ab aliis multipliciter. superparticularis numerus est, dum
fortior continet intra se inferiorem numerum circa quem comparatur, similiter
et unam partem eius, ut verbi gratia iii ad ii dum comparati fuerint, continent
in se ii et alium i, qui media pars est duorum; iiii ad iii dum comparati
fuerint, continent in se iii et alium i, qui est tertia pars trium; iterum v ad
iiii dum comparati fuerint, habent in se quaternarium numerum et alium unum,
qui quarta pars esse dicitur quaternarii numeri; et ceteri tales. subsuperparticularis
numerus est minor, qui continetur in fortiore numero cum alia una parte sua
aut media aut tertia aut quarta aut quinta, ut verbi gratia ii ad iii, iii ad
iiii, iiii ad v et ceteri. superpartiens numerus est qui in se
inferiorem numerum totum continet, et super hoc alteras partes eius duas aut
iii aut iiii aut v aut alias, ut verbi gratia v ad iii dum comparati fuerint,
habet in se quinarius numerus trinarium numerum et super haec alias partes eius
duas; vii ad iiii dum comparati fuerint, habent in se iiii et alias iii partes
eius; viiii ad v dum comparati fuerint, habent in se v et alias iiii partes
eius. subsuperpartiens numerus est qui continetur in numero
superpartienti cum aliquibus partibus suis duabus aut tribus aut pluribus, ut
verbi gratia iii continentur a v cum aliis duabus partibus suis; <iiii a vii
cum tribus partibus suis;> v a viiii cum quattuor partibus suis. multiplex
superparticularis numerus est qui, dum comparatus ad inferiorem sibi
numerum fuerit, continet in sc totum inferiorem numerum multipliciter cum
aliqua parte eius, ut verbi gratia v ad ii dum comparati fuerint, continent in
se bis bini cum una parte eius; viiii ad iiii dum comparati fuerint, continent
in se bis quaterni et unam partem eius. submultiplex superparticularis
numerus est qui, dum ad fortiorem sibi numerum comparatus fuerit,
continetur a fortiore sibi multipliciter cum alia una parte sua, ut verbi
gratia ii ad v dum comparati fuerint, continentur ab eo bis cum una parte sua. multiplex
superpartionalis numerus est qui, dum comparatus ad inferiorem sibi numerum
fuerit, continet eum multipliciter cum aliis partibus eius, ut verbi gratia
viii ad iii dum comparati fuerint, continent in se bis terni cum aliis duabus
partibus eius; xiiii ad vi dum comparati fuernt, continent intra se bis seni
cum aliis duabus partibus eius; xvi ad vii dum comparati fuerint, continent eum
bis cum aliis duabus partibus eius; xviiii ad viii dum comparati fuerint,
continent intra se bis viii cum aliis tribus partibus eius. submultiplex
superpartionalis numerus est qui, dum ad fortiorem sibi comparatus fuerit,
continetur ab eo multipliciter cum aliquibus partibus suis, ut verbi gratia iii
ad viii continentur bis cum duabus partibus suis; iiii ad xv continentur
<tertio> cum tribus partibus suis.
6.
Sequitur quarta divisio totius numeri:
<Numeri>
aut discreti sunt
aut continentes
lineales
superficiosi
solidi
discretus numerus est qui a discretis monadibus continetur, ut verbi
gratia iii a iiii, v a vi et reliqui. continens numerus est qui a
coniunctis monadibus continetur, ut verbi gratia trinarius numerus, si in
magnitudine intellegatur, id est in linea aut spatium aut solidum, dicitur
continens; similiter quaternarius et quinarius numeri. linealis numerus
est qui inchoans a monade linealiter scribitur usque ad infinitum, unde alpha
ponitur pro designatione linearum, quoniam haec littera unum significat apud
Graecos - aaa. superficialis numerus est qui non solum longitudine sed
et latitudine continetur, ut
trigonus numerus,
quadratus numerus,
quinquiangulus numerus,
circulatus numerus,
et ceteri qui semper in superficie continentur.
trigonus numerus est ita:
a
a a
a a a.
quadratus numerus est ita
aaa
aaa
aaa.
quinquiangulus ita
a
a a
a a.
circularis
numerus est qui, dum similiter multiplicatus fuerit, a se inchoans ad se
convertitur, ut verbi gratia quinquies quini xxv est ita ... ita et in senario
contingit ut sexies seni xxxvi et sexies xxxvi ccxvi.
solidus numerus est qui longitudne et latitudine vel altitudine
continetur, ut sunt pyramides, qui in modum a flammae consurgunt ita ... cybi,
ut sunt tesserae, ita ... spherae, quibus est aequalis undique rotunditas, ita
...
sphericus autem numerus est qui a circulato numero multiplicatus a se
inchoans ad se convertitur, ut verbi gratia quinquies quini xxv; hic circulus
dum in se ipsum multiplicatus fuerit, facit spheram, id est quinquies xxv cxxv.
7.
His igitur rebus sollicita mente tractatis, memento quod haec discplina ideo
ceteris antefertur, quonam ipsa, sicut superius dictum est, ut sit, nullius
alterius indiget disciplinae; reliquae vero quae sequuntur, sicut eius iam
qualitas virtutis ostendit, ut sint atque subsistant, indigent arithmetica
disciplina. quam apud Graecos Nicomachus diligenter exposuit. hunc prius
Madaurensis Apuleius, deinde magnificus vir Boethius Latino sermone translatum
Romanis contulit lectitandum; quibus, ut aiunt, si quis saepius utitur, quantum
hominibus fas est, lucidissima procul dubio ratione perfunditur. datum est
etiam nobis ex magna parte sub ipsa vivere disciplina; quando horas per eam
discimus, quando mensuum curricula supputamus, quando spatium anni redeuntis
agnoscimus, per numerum siquidem ne confundamur instruimur. tolle saeculo
computum, et omnia ignorantia caeca complectitur; nec differre potest a ceteris
animalibus, qui calculi non intellegit quantitatem. et ideo tantum gloriosa res
est, quantum vitae nostrae necessaria comprobatur; nam per ipsam et substantia
nostra certissime discitur, et expensarum modus libratis supputationibus
rogatur. numerus est qui cuncta disponit; per ipsum discimus quid primo, quid
secundo facere debeamus.
8.
Et si causam tantae re suptili praescrutatione discutias, nec miracula Domini a
virtute numeri redduntur aliena. primus ad unum pertinet Deum, sicut in
Pentateucho legitur: audi, Israel, Dominus Deus tuus Dominus unus est. secundus
ad duo pertinet Testamenta, quod ait in Regum: Et fecit in Dabir duo cherubin
decem cubitorum magnitudine. postremo totius spei nostrae suavissimus fructus
in sancta Trinitate repositus est, non quod ipsa sub numero sit, sed illa
numeri utilitatem potentia suae maiestatis ostendit. in essentia quidem
Divinitatis monas intellegitur, in personis vero trinitas comprobatur; legitur
enim in epistula Iohannis: Tria sunt quae testimonium perhibent, aqua, sanguis
et spiritus. de quattuor evangeliis etiam in Ezechiel legitur: Et ex medio
eorum similitudo quattuor animalium. quintus numerus ad quinque libros Moysi
noscitur pertinere, sicut in Apostolo legitur: In ecclesia volo quinque verba
sensus eloqui. sexto vero die Dominus hominem fecit ad imaginem et
similitudinem suam. nam et ipsum Spiritum sanctum dicimus et credimus
septiformem; - et ut res summae atque omnipotentissimae intellegantur, numerus
nobis necessarius invenitur.
|